He estado trabajando en una prueba que implica sumas y productos que van al infinito. Me pregunto si la siguiente prueba de un límite es válida, y si ese resultado me permitiría llegar a otra conclusión.
Lo que es:
$$\lim \limits_{n \to \infty} f(n)\text {, where }f(n) = n-n$$
He calculado que esto es
$$\lim \limits_{n \to \infty} n-n = \lim \limits_{n \to \infty} n(1-1) = \lim \limits_{n \to \infty} n\cdot 0 = 0$$
No estoy seguro de si esta es la forma correcta de demostrar este límite, o si la respuesta es correcta. Mi profesor de matemáticas había dicho que el límite completo le provocaba una bandera roja, y no estaba seguro de por qué.
Sin embargo, si mi límite es correcto, me gustaría saber si lo siguiente también es válido:
$$\lim \limits_{n \to \infty} f(n)\cdot n = 0$$
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La bandera roja podría ser que $x_n\to\infty$ y $y_n\to0$ no implica nada sobre la asintótica de $x_ny_n$ . Pero aquí $f(n)=0$ por cada $n$ por lo que $x_nf(n)=0$ por cada $n$ por lo que $x_nf(n)\to0$ para cada secuencia $(x_n)$ (y a decir verdad, esto da lugar a una pregunta bastante extraña).
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Es más fácil que eso. f(n) = n-n = 0 es una función constante.
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$\lim n*0$ es ambiguo. Podría significar $\lim (n*0)$ que no es más fácil ni más difícil de resolver que $\lim (n-n)$ o podría significar $(\lim n)*0$ que puede no ser una conclusión válida y puede no ser 0. Por cierto, ¿por qué crees que $\lim n*0 = 0$ ?
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$f(n)=n-n$ es sólo una forma indirecta de decir $f(n)=0\,$ Así que $\lim_{n \to \infty} f(n) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$ . Sin embargo, esto no debe confundirse con $\lim_{n \to \infty} (n-n) = \lim_{n \to \infty} n - \lim_{n \to \infty} n$ que es errónea e indefinida.
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@dxiv AFAIK $\lim_{n \to \infty}{n-n}=0$ . No está del todo claro en tu comentario que el error esté en "dividir el límite". Sólo se puede "dividir el límite": 1) cuando son factores y 2) los límites individuales existen y son finitos (por ejemplo $\lim_{x \to \infty}{f(x) \cdot g(x)} = (\lim_{x \to \infty}{f(x)})\cdot(\lim_{x \to \infty}{g(x)})$ siempre que estos dos últimos límites existan y sean finitos).
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La bandera roja aquí en mi mente es un profesor de matemáticas que se supone que te explica los límites pero no sabe si esta prueba es válida o no...
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math.stackexchange.com/questions/228726/
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¿Por qué se pasa de n-n a 0 de forma tan indirecta? n-n = 0, eso es todo. Eso es todo, y eso hace que el límite sea trivial: el límite de una función constante es esa constante.
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@gnasher729 Creo que el operador está pensando $\lim (n*0) = \lim n* \lim 0 = (\lim n)* 0 = 0$ que es no aceptable. Tampoco es $\lim (n-n) = \lim n - \lim n = 0$ . Pero no hay nada de malo en $\lim (n-n) = \lim 0 = 0$ . Nada en absoluto.
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He votado a favor de la pregunta. El hecho de que estas formas estén definidas es absolutamente fundamental para que el Cálculo funcione.