18 votos

¿Es el límite de $f(n) = n-n$ cero como $n\rightarrow \infty$ ?

He estado trabajando en una prueba que implica sumas y productos que van al infinito. Me pregunto si la siguiente prueba de un límite es válida, y si ese resultado me permitiría llegar a otra conclusión.

Lo que es:

$$\lim \limits_{n \to \infty} f(n)\text {, where }f(n) = n-n$$

He calculado que esto es

$$\lim \limits_{n \to \infty} n-n = \lim \limits_{n \to \infty} n(1-1) = \lim \limits_{n \to \infty} n\cdot 0 = 0$$

No estoy seguro de si esta es la forma correcta de demostrar este límite, o si la respuesta es correcta. Mi profesor de matemáticas había dicho que el límite completo le provocaba una bandera roja, y no estaba seguro de por qué.

Sin embargo, si mi límite es correcto, me gustaría saber si lo siguiente también es válido:

$$\lim \limits_{n \to \infty} f(n)\cdot n = 0$$

13 votos

La bandera roja podría ser que $x_n\to\infty$ y $y_n\to0$ no implica nada sobre la asintótica de $x_ny_n$ . Pero aquí $f(n)=0$ por cada $n$ por lo que $x_nf(n)=0$ por cada $n$ por lo que $x_nf(n)\to0$ para cada secuencia $(x_n)$ (y a decir verdad, esto da lugar a una pregunta bastante extraña).

6 votos

Es más fácil que eso. f(n) = n-n = 0 es una función constante.

4 votos

$\lim n*0$ es ambiguo. Podría significar $\lim (n*0)$ que no es más fácil ni más difícil de resolver que $\lim (n-n)$ o podría significar $(\lim n)*0$ que puede no ser una conclusión válida y puede no ser 0. Por cierto, ¿por qué crees que $\lim n*0 = 0$ ?

40voto

Eff Puntos 4600

Si $f(n) = n-n$ entonces $f(n) = 0$ para todos $n$ . El límite que has dado es cierto, es decir $$\lim\limits_{n\to \infty} f(n) = 0$$ es correcto.

Además, tenemos que $n\cdot f(n) = n\cdot 0 = 0$ para todos $n$ , por lo que el límite $$\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot f(n) = 0$$ también es correcto.


La bandera roja probablemente proviene de la conocida "forma indeterminada" $\infty -\infty$ . Esta es una notación abreviada para el hecho de que saber $$\lim\limits_{n\to \infty} g(n) = \infty\quad\text{ and }\quad \lim\limits_{n\to\infty} h(n) = \infty $$ no es suficiente por sí mismo para determinar $$\lim\limits_{n\to\infty}(g(n)-h(n)).$$ De la misma manera, $\infty\cdot 0$ es también una forma indeterminada, es decir, saber $$\lim\limits_{n\to \infty} g(n) = \infty\quad\text{ and }\quad \lim\limits_{n\to\infty} h(n) = 0$$ no es suficiente para determinar $$\lim\limits_{n\to\infty} g(n)\cdot h(n).$$

15voto

flawr Puntos 4409

Sí, esto es correcto. Si se define $f(n)=n-n$ basta con observar que $f(n) \equiv 0$

2voto

James A. Rosen Puntos 25774

En caso de duda, siempre se puede volver a la definición de límite . Si $\lim_{n\to\infty} f(n)$ va a tener un valor, $L$ significa que para cualquier "desviación" positiva $\epsilon$ por muy pequeño que sea, hay un rango $[N,\infty)$ de tal manera que, a lo largo de todo ese rango, $f(n)$ nunca se aleja de $L$ que $\epsilon$ .

En este caso, $f(n) = 0$ para todos $n$ . Así que si elegimos $L = 0$ entonces no importa lo que $\epsilon$ tú eliges, $f(n)$ es aaaaaallllllllwwwwwwaaaaaayyyyyyssssssssaaaaallllalwwlwaaaawayyyayssslsyswsaaaaalylllwswaaaaawaalllllllayywwwywwwyssaaaaasaaaaasyyyyyyyyysslsssssssswaaaaallyllwwswawaaalyywyssssaaalallwwwwaaayyysssaaallwlwlwawalaywysassyaaslaalwllawwlayaawyasyyaslssywaaaasallllywwwawsaaalyywysssasaaaayllswwwwaaaayysslssways tan cerca de $L$ porque es exactamente igual a $L$ en todas partes. Este razonamiento también muestra que, para cualquier función de un número real que siempre toma el mismo valor (una función constante), su límite en cualquier punto o en $\pm\infty$ es igual a ese valor.

Esta es, por supuesto, la forma "no técnica" de expresarlo, pero la idea es la misma si se hace una prueba adecuada.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X