La visión del álgebra lineal desde el álgebra abstracta

Question

Utilizo bastante el álgebra lineal en las aplicaciones, pero no tengo una formación muy sólida en álgebra abstracta (es decir, más o menos el nivel de un curso de introducción, sólo conociendo lo básico de anillos, grupos, ideales, el primer teorema de isomorfismo).

Por supuesto, esto último es mucho más general, por lo que me interesaba saber cómo puede dar una idea de lo primero. Por ejemplo, me pareció interesante observar el conjunto de rotaciones como el grupo $SO(3)$ .

Así que, esencialmente, tengo curiosidad por saber qué conocimientos se pueden obtener al "ver el álgebra lineal a través de una lente de álgebra abstracta". No se trata necesariamente de herramientas prácticas, sino más bien de aquellas que ayudan a la comprensión o a la intuición (es decir, que aportan algo nuevo).

Como ejemplo particular, ¿cuáles son las relaciones de los espacios vectoriales con estas estructuras abstractas, y es útil verlas desde ese punto de vista?

Answer 1

El teorema de la "nulidad de rango" del álgebra lineal puede verse como un corolario del primer teorema del isomorfismo, que puede ser más intuitivo.

Supongamos que $T:V\to V$ es una transformación lineal. Entonces por el Primer Teorema del Isomorfismo, $V/\ker T\cong T(V)$ .

Así que $\dim V-\rm{Null}(T)=\rm{Rank}(T)$ , que es el Teorema de Rango-Nulidad.

Esto puede ser más intuitivo que la prueba tradicional de Álgebra Lineal del Teorema de Rango-Nulidad (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem ).

Answer 2

Hay montones de formas en las que el álgebra abstracta informa al álgebra lineal; éste es sólo un ejemplo. Supongamos que tenemos un espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$ con un mapa lineal $T:V\to V$ . Dado un polinomio $p(x)$ con coeficientes en $k$ se obtiene un mapa lineal $p(T):V\to V$ . Esto hace que $V$ un módulo sobre el anillo $k[x]$ de polinomios con coeficientes en $k$ : dado $p(x)\in k[x]$ y $v\in V$ la multiplicación escalar $p(x)\cdot v$ es sólo $p(T)v$ . En particular, la multiplicación por $x$ corresponde al mapa lineal $T$ .

A la inversa, dado un $k[x]$ -Módulo $V$ Es una $k$ -espacio vectorial considerando la multiplicación por polinomios constantes, y la multiplicación por $x$ da una $k$ -mapa lineal $T:V\to V$ . Así que cualquier $k[x]$ -Módulo $V$ puede considerarse como un espacio vectorial junto con un mapa lineal $V\to V$ y esto es inverso a la construcción descrita en el párrafo anterior.

Así que los espacios vectoriales $V$ junto con un mapa lineal elegido $V\to V$ son esencialmente lo mismo que $k[x]$ -módulos. Esto es realmente poderoso porque $k[x]$ es un anillo muy bonito: es un dominio ideal principal, y hay un clasificación de todos los módulos generados finitamente sobre cualquier dominio ideal principal . Esto nos da una clasificación de todos los mapas lineales de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo, hasta el isomorfismo. Cuando se representan los mapas lineales mediante matrices, "hasta el isomorfismo" acaba significando "hasta la conjugación". Así que esto da una clasificación de todos los $n\times n$ matrices sobre un campo $k$ , hasta la conjugación por el invertible $n\times n$ matrices, llamadas forma canónica racional . En el caso de que $k$ es algebraicamente cerrado (por ejemplo, $k=\mathbb{C}$ ), puedes ir más allá y conseguir el potentísimo Forma normal de Jordania de esta clasificación.

Ahora, por supuesto, estas formas canónicas para las matrices pueden obtenerse sin todo este lenguaje del álgebra abstracta: puedes formular los argumentos en este caso particular puramente en el lenguaje de las matrices si realmente quieres. Pero el marco general proporcionado por el álgebra abstracta proporciona mucho contexto que puede hacer que estas ideas sean más fáciles de entender (por ejemplo, se puede pensar en esta clasificación de las matrices como algo muy análogo a la clasificación de los grupos abelianos finitos, ya que es el mismo resultado aplicado al anillo $\mathbb{Z}$ en lugar de $k[x]$ ). También proporciona un marco para generalizar estos resultados a situaciones más difíciles. Por ejemplo, si se quiere considerar un espacio vectorial junto con dos mapas lineales que conmutan entre sí, eso equivale ahora a un $k[x,y]$ -módulo. En este caso no hay una clasificación tan bonita, pero el lenguaje de los anillos y los módulos permite formular y pensar en esta cuestión utilizando las mismas herramientas que cuando se tenía un solo mapa lineal.

Answer 3

Un espacio vectorial sobre un campo $k$ es una construcción similar a lo que se conoce como módulo sobre un anillo $R$ . La idea es muy similar: queremos un lugar en el que podamos sumar elementos y multiplicar por elementos de algún otro espacio. Sólo que aquí, el otro espacio es un anillo. Un ejemplo sería $k[t]$ (polinomios de grado arbitrario con coeficientes en un campo $k$ ).

Como ejemplo, existe el concepto de Forma normal de Smith en Álgebra Lineal. La idea de esto es que si $A$ es un $m\times n$ matriz, entonces podemos encontrar invertibles $m\times m,n\times n$ matrices $S,T$ tal que $SAT$ es:

1. Diagonal

2. Los elementos diagonales de la matriz diagonal ( $a_1,a_2,\dots$ ) satisfacen $a_i\mid a_{i+1}$ para "lo suficientemente pequeño" $i$ (esencialmente, algunos de los $a_i$ puede ser cero, queremos ignorarlos).

Además, los elementos diagonales son único hasta la "multiplicación por unidades". Sobre un campo, esto es bastante aburrido, ya que todos los elementos no nulos de un campo son invertibles (que es lo que significa ser una unidad). Pero, la forma normal de Smith es verdadera para muchos anillos (cualquiera que sea un PID), así que podemos trabajar sobre matrices enteras y calcular la forma normal de Smith, y los elementos diagonales son únicos hasta la multiplicación por $-1$ (la única unidad no identitaria en $\mathbb Z$ ). Incluso podríamos hacer esto para matrices con elementos en $k[t]$ ¡! (aunque no estoy seguro de que sea útil).

Este tipo de idea suele ser válida para muchas cosas en Álgebra Lineal. Te enseñan una versión para los espacios vectoriales, pero a menudo es implícitamente cierto en anillos más generales (ya que un campo es sólo un tipo especial de anillo).

Answer 4

Los que han respondido más arriba (¿abajo?) han dado varios ejemplos excelentes de cómo se pueden utilizar principios algebraicos más generales para aclarar el álgebra lineal, pero hay uno que me sorprende que nadie haya mencionado. En realidad, eso no es del todo cierto: varios lo han mencionado, sólo que lo han expresado en términos diferentes a los que yo tengo en mente.

Consideremos una acción de grupo sobre un conjunto:

Def: Para cualquier grupo G y X es un conjunto entonces $\phi : G \times X \to X$ y tal que $\phi(e,x)=x$ y $\phi(g,\phi(h,x))=\phi(gh,x) $ por cada $x \in X$ y cada $g,h \in G$ . Entonces $\phi$ se llama acción de grupo sobre X.

Entonces consideremos la definición de un módulo R sobre un anillo R.

Def: Supongamos que R es un anillo y 1 $ \in$ R es su identidad multiplicativa. Un módulo R izquierdo M consiste en un grupo abeliano (M, +) y una operación : R × M M tal que para todo r, s en R y x, y en M, tenemos:

1 )r $\cdot$ (x+y)=r $\cdot$ x+ r $\cdot$ y

2) (r+s) $\cdot$ x=r $\cdot$ x+s $\cdot$ x

3) (rs) $\cdot$ x=r $\cdot$ (s $\cdot$ x)

4) 1 $\cdot$ x=x

(Un módulo derecho se define de forma similar).

Observando detenidamente esta definición, nos damos cuenta de que si reescribimos la acción escalar como $L_r$ para que L $_r$ (x) = r x, y L para el mapa que lleva cada r a su correspondiente mapa $L_r$ entonces (1) afirma que cada $L_r$ es un homomorfismo de grupo de M por compatibilidad.

Además, (2)-(4) afirman que el mapa L : R End(M) dado por r $L_r$ es un homomorfismo de anillo de R al anillo de endomorfismo End(M). Pero esto significa que cada módulo izquierdo (derecho) es una acción de anillo sobre un grupo abeliano.

Por lo tanto, todo espacio vectorial puede considerarse como una acción de grupo en la que la estructura abeliana del campo de escalares "actúa" sobre el grupo abeliano de vectores mediante la multiplicación.

Otra observación que vale la pena mencionar es que si R es un campo y G es un grupo, entonces una representación de grupo de G es un módulo de la izquierda sobre el anillo de grupo R[G].La teoría de la representación es una rama importante del álgebra abstracta con una enorme utilidad en muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas donde la estructura de un grupo puede ser analizada por acciones de grupo específicas en un espacio vectorial dado.

¿Cómo es eso?

Answer 5

Forma normal de Jordania es sobre cómo una matriz puede ser casi diagonalizada. La prueba es técnica y se deriva exactamente del mismo teorema más general que produce la Teorema fundamental de los grupos abelianos de generación finita .