Aquí están mis pensamientos hasta el momento:
En lo que sigue, las curvas de $\gamma$ son siempre débiles contracciones. Lema 0 y 1 son comentarios generales sobre la longitud de los espacios.
Lema 0. Si $\gamma\colon[0,L]\to X$ es una débil contracción con $x=\gamma(0)\ne \gamma(L)=y$, entonces podemos asumir wlog. que $\gamma$ es inyectiva.
Prueba:
Deje $S$ ser el conjunto de todos los finita uniones de intervalos de la forma
$$ A=\bigcup_{k=1}^n[a_k,b_k]$$
con $a_1=0$, $b_n=L$, $a_k<b_k<a_{k+1}$, $\gamma(b_k)=\gamma(a_{k+1})$.
Para $A\in S$ tenemos $\mu(A)=\sum (b_k-a_k)\ge d(x,y)$ y se puede definir la débil contracción
$$\gamma_A\colon[0,L-\mu(A)]\to X , t\mapsto \gamma(\mu(A\cap[0,t])).$$
Deje $(A_n)_n$ ser una secuencia en $S$ tal que $\mu(A_n)$ converge a $m:=\sup\{\,\mu(A)\mid A\in S\,\}$. Se verifica que $(\gamma_{A_n}|_{[0,L-m]})_n$ converge pointwise a una débil contracción $[0,L-m]\to X$ que es inyectiva.$_\square$
Lema 1. Cada bola abierta es (ruta)conectado.
Prueba: en efecto, Si $y\in B_r(x)$, entonces hay una curva de $\gamma$ $x$ $y$que se mantiene dentro de $B_r(x)$, por ejemplo, podemos tomar $L=\frac{r+d(x,y)}2$.$_\square$
Lema 2. Si $\gamma$ es una curva de$x$$y\ne x$$L<d(x,y)+\epsilon$, entonces para cada a $t\in(3\epsilon,L-3\epsilon)$ no es un barrio de $\gamma(t)$ que es homeomórficos a un intervalo abierto.
Prueba: Vamos A
$$\tag1 U=\bigcup_{0<t<L}B_{\min\{\epsilon,t,L-t\}}(\gamma(t)).$$
Como la unión de bloques abiertos, $U$ está abierto. Por otra parte, el único bolas están conectados por el lema 1 y se superponen. Esto hace que $U$ conectado.
Para algunos $t_0\in(3\epsilon,L-3\epsilon)$, considere la posibilidad de $$\tag2U'=U\setminus\{z\}\quad\text{with }z=\gamma(t_0).$$
Por supuesto, $U'$ puede ser escrito como la desunión de la unión de abrir las bolas.
Si asumimos que el $U'$ todavía está conectado, esta unión es en realidad una sola bola de $B_r(\xi)$.
Debido a $U'$ se superpone cada pelota alrededor de $x$ (o $y$ o $z$), podemos ver que $d(\xi,x)=d(\xi,y)=d(\xi,z)=r$, por lo tanto $$\tag32r=d(\xi,x)+d(\xi,y)\ge d(x,y)>L-\epsilon.$$
Puesto que hay un $\tau\in[0,L]$$d(z,\gamma(\tau))<\epsilon$, tenemos $$\tag4r=d(\xi,x)<\tau+\epsilon$$ and $$\tag5r=d(\xi,y)<(L-\tau)+\epsilon,$$ hence $r<\frac L2+\epsilon$. Also, $$\tag6r=d(\xi,z)<\epsilon+|\tau-t_0|.$$
Si $t_0\le \tau$, esto implica $r<\epsilon+\tau-t_0$ y junto con
(5) y (3)
$$ (L-t_0)+2\epsilon>2r>L-\epsilon.$$
Por otro lado, si $t_0>\tau$, entonces (6), (4) y (3) impliy
$$ t_0+2\epsilon>2r>L-\epsilon.$$
En ambos casos obtenemos una contradiciton a $t_0\in(3\epsilon,L-3\epsilon)$.
Por lo tanto, $U'$ no está conectado.
Ahora, para un punto de $\eta\in U'$, en los siguientes casos posibles:
$\eta\in B_\epsilon(z)$. A continuación, también se $\eta\in B_\epsilon(z')$ algunos $z'=\gamma(t')$$t'\approx t_0$. Por lo tanto, no es una ruta dentro de $U'$ $\eta$ $\gamma(t')$y desde allí a lo largo de $\gamma$ a $x$ o $y$.
$\eta\notin B_\epsilon(z)$. Luego, por supuesto, $\eta\in B_{\min\{\epsilon,t',L-t'\}}(\gamma(t'))$ algunos $t'\ne t_0$ y de nuevo $\eta$ es la ruta de acceso conectados dentro de $U'$ $x$o $y$.
Llegamos a la conclusión de que $U'$ tiene exactamente dos componentes conectados, uno que contenga $x$ y uno que contenga $y$.
Deje $\delta =\min\{\epsilon,t_0-3\epsilon,L-3\epsilon-t_0\}>0$.
Suponga que $B_\delta(z)$ contiene un punto de $\eta$ que es no en la imagen de $\gamma$.
Para $t_1$ lo suficientemente cerca de a $t_0$ ( $t_0<t_1<t_0+\delta$ , por ejemplo), el punto de $\eta$$B_\epsilon(\gamma(t_1))$.
Por el mismo argumento como el anterior, en el conjunto de $U''=U\setminus\{\gamma(\frac{t_0+t_1}2)\}$ puntos $x$ $y$ se encuentran en diferentes componentes conectados. Pero en realidad están conectados a través de las rutas de $x\to \gamma(t_0)\to\eta\to\gamma(t_1)\to y$.
Por lo tanto, $B_\delta(z)$ contiene sólo los puntos en $\gamma([0,L])$ y es homeomórficos imagen de la conexión de un subconjunto de $[0,L]$.$_\square$
Lema 3. Si $x\ne y$, entonces hay una curva de $\gamma\colon[0,L]$ $x$ $y$tal que $\gamma|_{(0,L)}$ es un homeomorphism con un subconjunto de a $X$.
Prueba:
Usando el lema 2 con $\epsilon<\frac16d(x,y)$ encontramos un punto de $z=\gamma(\frac L2)$ que tiene un neighbourhod el aspecto de un intervalo. Cualquier (inyectiva) de la curva de $z$ $x$de los que tomaron el "mal", la dirección tiene una longitud de, al menos,$\frac L2+\epsilon$, por lo tanto esto no suceda para todos suficientemente corto curvas de$z$$x$. Llegamos a la conclusión de que una secuencia de curvas de $z$ $x$donde $L\to d(z,x)$ converge pointwise a una curva de $[0,d(z,x)]\to X$ de manera tal que la restricción a $[0,d(z,x))$ es un homeomorphism. Si hacemos lo mismo con $y$ en lugar de $x$ y combinar los resultados, la afirmación de que el lema de la siguiente manera.$_\square$
