Parece que $$\log n \leq \sqrt n \quad \forall n \in \mathbb{N} .$$ He tratado de demostrar esto por inducción donde uso $$ \log p + \log q \leq \sqrt p \sqrt q $$ cuando $n=pq$ pero esto falla para los números primos. ¿Alguien conoce una prueba?
Considere la función $f(x)=\log x-\sqrt{x}$ . Entonces $f'(x)=(1-(1/2)\sqrt{x})/x$ y se puede ver fácilmente que esto es negativo cuando $x\geq 4$ . Esto significa que si $f(1),f(2),f(3)<0$ y $f(4)<0$ entonces también lo es $f(n)$ para todos $n>4$ . Pero es fácil comprobar que $f(1),f(2),f(3),f(4)<0$ así que ya está.
Es necesario un caso especial $x=1$ desde $f'(x)>0$ para $1<x<\sqrt{2}$ . Para $x>\sqrt{2}$ , $f'(x)<0$ y tu argumento funciona para x \ge2.
@robjohn, gracias. Me apresuré en mi respuesta ya que se estaban publicando otras mientras escribía.
Yo también estaba siendo descuidado. $1-(1/2)\sqrt{x}\;\begin{array}{c}<\\=\\>\end{array}\;0$ cuando $x\;\begin{array}{c}>\\=\\<\end{array}\;4$
A continuación se presenta una prueba de una desigualdad algo más débil que no utiliza el cálculo:
Poner $m:=\lceil\sqrt{n}\>\rceil$ . El conjunto $\{2^0,2^1,\ldots,2^{m-1}\}$ es un subconjunto del conjunto $\{1,2,\ldots,2^{m-1}\}$ por lo que tenemos la desigualdad $m\leq 2^{m-1}$ para todos $m\geq1$ . De ello se desprende que $$\log n=2\log\sqrt{n}\leq 2\log m\leq 2(m-1)\log2\leq 2\log2\>\sqrt{n}\ ,$$ donde $2\log2\doteq1.386$ .
Eso es lo mismo que $n \le e^{\sqrt n}$ o $n^2 \le e^n$ . Si permitimos la serie de potencias para $e^x$ , $e^n > n^3/6$ así que $e^n > n^2$ para $n \ge 6$ .
Si no permitimos la serie de potencias, podemos demostrar por inducción que $n^2 < 2^n$ (que, por supuesto, es mejor) para $n \ge 5$ : Verdadero para $n = 5$ si es verdadero para $n \ge 5$ , $$\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} = \frac{n^2}{2^n}\frac{(1+1/n)^2}{2} \le (6/5)^2/2 = 36/50 < 1.$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
¿Basta con señalar que $f(x)=\log x - \sqrt{x}$ satisface $f'(x)\leq 0$ para $x\geq 4$ y observe que la desigualdad se satisface para $n=1,2,3,4$ ?
1 votos
¿Qué está "permitido" utilizar? (En realidad, ¿cómo se define $\log$ ? Supongo que te refieres al logaritmo natural, y una definición habitual es la siguiente $\log x = \int_1^x \frac{1}{y} \mathrm{d}y$ por lo que se utilizan algunos cálculos).