¿Cuál es la "geometría" de la "multiplicidad geométrica"?

Question

El _multiplicidad geométrica_ de un valor propio se define como la dimensión del espacio propio asociado, es decir, el número de vectores propios linealmente independientes con ese valor propio.

Aquí están mis preguntas :

• ¿De dónde viene el nombre "multiplicidad geométrica" en la historia de las matemáticas?
• ¿Hay algo en geometría relacionado con este concepto? ¿Sólo significa el número de vectores propios linealmente independientes con ese valor propio que se puede "dibujar" como dice la definición?

Answer 1

@Bruno es esencialmente correcto. Es importante ver que geométrico La multiplicidad debe distinguirse de la algebraico multiplicidad de valores propios, siendo este último el número total de veces que un valor propio aparece como raíz de la ecuación característica. Se puede hacer una analogía con las raíces de cualquier polinomio. Por ejemplo, $x^2 + 2x + 1$ tiene una sola raíz $-1$ de multiplicidad 2. Algebraicamente, siempre hay dos raíces para una cuadrática (al menos sobre $\mathbb{C}$ ), y en este caso, esas raíces son $-1$ y $-1$ . Pero (geométricamente) sólo hay una $x$ -intercepción de la función $y = x^2 + 2x + 1$ .

Answer 2

Dado un mapa lineal $L:V \to V$ ; $V$ , $W$ espacios vectoriales, el eigespacio $E$ asociado a un valor propio $\lambda$ es aquel subespacio de $V$ donde $L$ actúa como un escalar, es decir, $L$ actúa estirando los vectores. La multiplicidad geométrica de $\lambda$ es la dimensión del subespacio de $V$ (en el dominio) donde $T$ actúa como un escalar, con coeficiente de escala $\lambda$ es decir, $T$ cuando se restringe al eigespacio es un mapa dado por $T(v)=\lambda v$ .

Quizás el ejemplo más claro es el que da el mapa de identidad $I:V \to V$ , $I(v)=v$ , donde $V$ es $n$ -dimensional ( $n < \infty$ ), con la matriz asociada la matriz de identidad. Aquí, el único valor propio es $1$ y se puede ver fácilmente, por ejemplo, mirando la matriz asociada ( $M-\lambda I:=(I-1I)=0$ que la multiplicidad geométrica es $n$ esto significa que la identidad actúa sobre el conjunto de $V$ mediante el escalado de $1$ . Sustituyendo la matriz identidad por una matriz escalar (es decir $a_{ii}=c$ ; $a_{ij}=0$ ; $i\neq j$ ) ilustra el mismo punto, por ejemplo, si nuestra matriz es la matriz ( $a_{ij}:a_{ii}=2$ ; $a_{ij}=0$ si $i \neq j$ ) entonces $M$ actúa como un escalar para cada vector.

En el otro extremo, si nuestra matriz representa una transformación lineal de una rotación por un ángulo $\theta \neq 0, \neq 2n\pi$ , entonces el eigespacio es $0$ -dimensional, ya que cada punto será enviado a otro punto con el mismo radio (porque enviará un punto $p$ en un círculo $C$ a otro punto $p'$ en el mismo círculo), y ningún punto girará sobre sí mismo. El eigespacio sería entonces $0$ -dimensional, ya que sólo el subespacio de dimensión cero se enviará a sí mismo.