Curvas modulares de género cero y formas normales para curvas elípticas

Question

Esta es quizá la primera pregunta cuya respuesta necesito realmente.

Dejemos que $N$ sea un número entero positivo tal que $\mathbb{H}/\Gamma(N)$ tiene género cero. Entonces el campo de funciones de $\mathbb{H}/\Gamma(N)$ es generada por una sola función. Cuando $N = 2$ la relación cruzada $\lambda$ es una función de este tipo. Un punto de $\mathbb{H}/\Gamma(2 )$ en el que $\lambda = \lambda_0$ es precisamente una curva elíptica en forma normal de Legendre

$$y^2 = x(x - 1)(x - \lambda_0)$$

donde los puntos $(0, 0), (1, 0)$ constituyen una elección de base para la $2$ - la torsión. Cuando $N = 3$ existe una función modular $\gamma$ tal que un punto de $\mathbb{H}/\Gamma(3)$ en el que $\gamma = \gamma_0$ es precisamente una curva elíptica en la forma normal de Hesse

$$x^3 + y^3 + 1 + \gamma_0 xy = 0$$

donde (creo) los puntos $(\omega, 0), (\omega^3, 0), (\omega^5, 0)$ (donde $\omega$ es una raíz sexta primitiva de la unidad) constituyen una elección de base para la $3$ - la torsión.

Pregunta: ¿Esta imagen es generalizada? Es decir, para cada $N$ arriba, ¿existe una forma normal para las curvas elípticas que pueda escribirse en términos de un generador del campo de funciones de $\mathbb{H}/\Gamma(N)$ y que equipa "automáticamente" al $N$ -¿puntos de torsión con una base? (Ni siquiera sé si esto es posible cuando $N = 1$ donde el Hauptmodul es el $j$ -invariante). Si no es así, ¿qué tienen de especial los casos en los que es posible?

Answer 1

Lo primero que se necesita para definir una forma normal es la unicidad del espacio de módulos (de lo contrario, ni siquiera se tiene el número correcto de parámetros). En la dimensión 1, esto significa que (al menos) necesitas que la curva modular sea de género 0, en cuyo caso podemos mirar el Enciclopedia en línea de las secuencias de números enteros

He aquí cómo se puede hacer la n-torsión suponiendo que se conoce la solución de la m-torsión y que m divide a n (y por supuesto, el espacio de módulos es de género 0):

Sea z el parámetro del espacio de moduli, y E(z) la curva plana universal. Sea $a_i(z),b_i(z)$ son puntos de n-torsión en E(z) que abarcan el conjunto de puntos de n-torsión; sea $l_i(z)$ en el plano proyectivo dual sea la línea que une $a_i(z),b_i(z)$ . Entonces el lugar de $l_i(z)$ es una curva plana, que es -- por nuestra suposición -- racional. Ahora utiliza tu método "italiano" favorito para encontrar una racionalización explícita de una curva plana racional. Las coordenadas del plano proyectivo universal están determinadas por los cuatro puntos $0, a_i(z), b_i(z), a_i(z)+b_i(z)$ .

Observa que de la lista original de 2..10,12,13,16,18,25 te queda ahora la tarea de encontrar soluciones a 5,7,13.

Answer 2

Como he mencionado en relación con una respuesta a otra pregunta, no es generalmente cierto para las curvas elípticas $f:E \rightarrow S$ sobre una base $S$ que existe una incrustación global de $E$ en $\mathbf{P}^2_ S$ . Por ejemplo, si $S = {\rm{Spec}} ( A )$ para un dominio Dedekind $A$ cuyo grupo de clases no es trivial, podría fallar (y a veces falla). La condición necesaria y suficiente es que el haz de líneas $\omega_{E/S} = f_{\ast}(\Omega^1_{E/S})$ en $S$ es trivial.

Ejemplo: Si $S$ es el complemento de un conjunto finito no vacío de puntos racionales en la recta proyectiva sobre un campo $k$ entonces es el espectro de una localización de $k[x]$ y por lo tanto tiene un grupo de Picard trivial. Por tanto, los obstáculos desaparecen y existe una incrustación global. Esto se aplica a la curva modular $Y(N)$ en $\mathbf{Q}$ (geométricamente conectado sobre $\mathbf{Q}(\zeta_ N)$ a través del Weil $N$ -tortuosidad) cuando $N = 3, 4, 5$ . Por supuesto, para encontrar realmente la forma normal en términos explícitos se requiere un trabajo real y no sólo este tipo de "trabajo cerebral".

En el caso de que la curva elíptica sea la universal sobre algún esquema de moduli (fino) $S$ y esta obstrucción del haz de líneas desaparece, como si conociéramos el hecho más fuerte de que ${\rm{Pic}}(S) = 1$ entonces debe existir tal incrustación global y su determinación puede considerarse entonces como una "forma normal".

Por otro lado, consideremos las curvas elípticas universales $E \rightarrow Y$ sobre curvas modulares finas $Y$ cuya "estructura de nivel" no domina una de las finas de género 0, como $Y(p)$ con un primo $p > 5$ . Para saber si existe una forma de Weierstrass para $E$ sobre toda la base afín $Y$ (es decir, no es necesario sustituir el plano proyectivo por un haz de espacio proyectivo, como es necesario para las familias generales de curvas elípticas) hay que determinar con precisión si $\omega_{E/Y}$ es trivial. Esto equivale a la existencia de funciones modulares que se "transforman" bajo el correspondiente "subgrupo de congruencia" (como $\Gamma(p)$ ) como una forma de peso 1 y no tienen ceros o polos en el semiplano superior (si se trabaja sobre $\mathbf{C}$ ), por lo que se puede analizar concretamente pensando en la forma de Klein en el caso de los problemas de nivel completo.

Answer 3

Creo que la respuesta a tu pregunta es el contenido de la tesis de Velu: Courbes elliptiques munies d'un sous-groupe $Z/NZ\times \mu_N$ . Allí escribe explícitamente la curva elíptica universal sobre $X(p)$ para $p>3$ .

Answer 4

Hola,

Creo que los siguientes resultados que aparecen en los trabajos de Rubin y Silverberg pueden ser muy útiles aquí. Sea $N=3,4,$ o $5$ y que $Y_N$ sea la curva modular (no compacta) sobre $\mathbb{Q}$ que parametriza $(E,P,C)$ donde $E$ es una curva elíptica, $P$ es una cuestión de orden $N$ en $E$ y $C$ es un subgrupo cíclico de orden $N$ en $E$ y $C$ y $P$ generar $E[N]$ . La curva $Y_N$ es isomorfo a un componente conectado de $Y(N)$ y $Y_N(\mathbb{C})$ es isomorfo a $\mathbb{H}/\Gamma(N)$ . Sea $X_N$ sea la compactación de $Y_N$ .

Rubin y Silverberg describen isomorfismos explícitos $f_N:X_N \cong \mathbb{P}^1$ con $f(u) = (A_u,P_u,C_u)$ y dar ecuaciones para $A_u$ aquí:

1) [Rubin y Silverberg] para $N=3$ y $5$ en Familias de curvas elípticas con representaciones constantes mod p

y

2) [Silverberg] para $N=4$ en `` Familias explícitas de curvas elípticas con mod prescrito $N$ representaciones '', en Modular forms and Fermat's last theorem, Cornell, Silverman, Stevens (Editors), Springer, p. 447 - 461.

Espero que eso ayude,

Álvaro