La solución de una ecuación diferencial separable

Question

Resolver la ecuación diferencial:

$$y'=\frac{1-y^2}{1-x^2}$$

Mi libro dice que la solución es: $$y=\frac{x+c}{cx+1},$$ where $c$ es una constante. Ya han pasado diez minutos traté de verificar si es correcto, pero estoy bastante seguro de que el libro es malo. Alguien puede confirmar?

Answer 1

Tenemos $$ \frac{dy}{dx}=\frac{1-y^2}{1-x^2}. $$ Usando separación de variables obtenemos $$ \frac{dy}{1-y^2}=\frac{dx}{1-x^2}. $$ La integración de ambos lados de los rendimientos $$\eqalign { \int\frac{dy}{1-y^2}&=\int\frac{dx}{1-x^2}\\ \frac12\int\left[\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}\right]\ dy&=\frac12\int\left[\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right]\, dx\\ \ln(1+y)-\ln(1-y)&=\ln(1+x)-\ln(1-x)+C_1\\ \ln\frac{1+y}{1-y}&=\ln\frac{1+x}{1-x}+C_1\\ \frac{1+y}{1-y}&=C_2\cdot\frac{1+x}{1-x}\\ y&=\frac{k_1x+k_2}{k_2x+k_1}\quad\Rightarrow\quad\text{dividiendo por}\ k_1\\ \color{blue}{y(x)}&\color{blue}{=\frac{x+c}{c\, x+1}}. } $$ donde $C_2=e^{C_1}$, $k_1=C_2+1$, $k_2=C_2-1$, y $c=\dfrac{k_2}{k_1}$.

Answer 2

$$y'=\frac{cx+1-c(x+c)}{(cx+1)^2}=\frac{1-c^2}{(cx+1)^2},$$ $$\frac{1-y^2}{1-x^2}=\frac{\frac{(cx+1)^2-(x+c)^2}{(cx+1)^2}}{(1-x^2)}=\frac{(c^2-1)x^2+(1-c^2)}{(cx+1)^2(1-x^2)}=\frac{1-c^2}{(cx+1)^2}.$$

Answer 3

\begin{align*} \text{Separate:} && \frac{dy}{1-y^2} & =\frac{dx}{1-x^2} \\ \text{Partial fractions:} && \frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1+y}dy+\int\frac{1}{1-y}dy\right) & =\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1+x}dx+\int\frac{1}{1-x}dx\right) \\ \text{Integrate:} && \log\frac{1+y}{1-y} & = \log c+\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \\ \text{Solve for %#%#%:} && y & =\frac{c+cx-1+x}{c+cx+1-x} \\ \text{Factor:} && y & =\frac{x(c+1)+c-1}{x(c-1)+c+1} \\ \text{Divide by %#%#%:} && y & =\frac{x+\frac{c-1}{c+1}}{\frac{c-1}{c+1}x+1} \\ \text{Let %#%#%:} && y & =\frac{x+k}{kx+1}. \end{align*}

Answer 4

El libro es correcto. Si usted va a mostrar cómo se calcula que no lo es, yo te puedo mostrar donde se ha cometido un error. Nos muestran cómo se calculan $y'$ y cómo calculó $\frac{1-y^2}{1-x^2}$.

Answer 5

Por la integración a partir de una tabla de primitivas, $argth(y)=argth(x)+c$, por lo que $$y=\tanh(argth(x)+c).$$ (Puede ser demostrado ser la misma que la solución dada.)