Cómo demostrar que la serie de $\frac{\sin(n)}{\log(n)}$ converge?

Question

Edit: estoy en busca de una solución que utiliza sólo el cálculo y real de los métodos de análisis -- no el análisis complejo. Esta es una vieja cálculo avanzado de las preguntas del examen, y creo que no está permitido el uso de ningún tipo de complejos análisis que podría hacer que el enunciado del problema una trivialidad.

Mostrar que la serie

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(n)}{\log(n)}$$

converge.

Consejos o sugerencias son bienvenidos.

Algunas ideas:

La integral de la prueba no es aplicable aquí, ya que los sumandos no son positivas.

El Dirichlet prueba no parece aplicable, ya que si dejo 1/log(n) ser la disminución de la secuencia, entonces la serie de pecado(n) no se han delimitado las sumas parciales para cada intervalo.

Gracias,

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\left|\sum_{k=1}^n \sin k\right|= \frac{|\sin(n/2)\sin[(n+1)/2]|}{\sin(1/2)}\leqslant \frac{1}{\sin(1/2)}.$$

Derivación:

$$\begin{align} 2 \sin(1/2)\sum_{k=1}^n\sin k &= \sum_{k=1}^n2 \sin(1/2)\sin k \\ &= \sum_{k=1}^n2 \sin(1/2)\cos (k +\pi/2) \\ &= \sum_{k=1}^n[\sin(k + 1/2 + \pi/2)-\sin (k -1/2 + \pi/2)] \\ &= \sin(n + 1/2 + \pi/2) - \sin(1/2 + \pi/2) \\ &= 2 \sin(n/2)\cos[(n+1)/2 +\pi/2] \\ &= 2 \sin(n/2)\sin[(n+1)/2] \end{align} \\ \implies \sum_{k=1}^n\sin k = \frac{\sin(n/2)\sin[(n+1)/2]}{\sin(1/2)}$$