Encontrar el inverso de la transformación de Laplace de $\frac{s^2-4s-4}{s^4+8s^2+16}$

Question

$$F(s) = \frac{s^2-4s-4}{s^4+8s^2+16}$$

Mi trabajo es la siguiente,

$$\frac{s^2-4s-4}{(s^2+4)^2}=\frac{s^2+4}{(s^2+4)^2}-\frac{8}{(s^2+4)^2}-\frac{4s}{(s^2+4)^2}$$

La inversa laplace del primer término es, $\frac{1}{2} \sin(2t)$ el segundo de ellos no tiene ninguna transformación directa, tal vez usando el teorema de convolución haría. El tercer y último término es -$t\sin(2t)$. Hay una manera más rápida para solucionar el problema en lugar de utilizar el teorema de convolución para el segundo término.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{a}{s^2+a^2}\right]=\pecado en $$ y $$ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}\right]=t\cos a, $$ entonces $$ \frac{a}{s^2+a^2}-\cdot\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}=\frac{2a^3}{(s^2+a^2)^2}. $$ Por lo tanto $$ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2a^3}{(s^2+a^2)^2}\right]=\pecado-a\cos en $$ y $$ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{8}{(s^2+4)^2}\right]=\frac12(\sen 2t-2t\cos 2t). $$