Dadas dos circunferencias que se intersecan, ¿encontrar las coordenadas de intersección de la tangente común?

Question

Q) Un círculo $C_{1}$ se dibuja teniendo como centro el punto P del eje x y pasando por el centro del círculo $C:x^2 +y^2=1$ . Una tangente tangente a $C_{1}$ y $C$ toca los círculos en respectivamente . Entonces $Q(x,y)$ siempre satisface $x^{2}=\lambda $ entonces encontrar $\lambda$ ?

Inténtelo

Sea $(p,0) $ sea el centro de $C_1$ entonces tenemos $C_1 = x^2 +y^2 -2px=0$ .

Sea $R=(x_1 ,y_1 )$ y $Q=(x_2 , y_2 )$

Luego escribí la ecuación de las tangentes de ambas circunferencias y las igualé y obtuve

$\frac{1}{p}=x_1 + x_2$

¿Cómo debo proceder? ¿Sugerencias?

Answer 1

$\boldsymbol{r\lt1}$

Utilizando triángulos semejantes, obtenemos $x$ -coordenada de $Q$ ser $r+(1-r)=1$ .

La suma de los gajos de naranja y lavanda multiplicada por $r$ debe ser la longitud del segmento de lavanda; es decir, $$ \frac{\color{#C00000}{r}}{\color{#00A000}{1}}(\color{#FF8000}{r}+\color{#8080FF}{x})=\color{#8080FF}{x} $$ resolviendo da $$ x=\frac{r^2}{1-r} $$

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$\boldsymbol{r\gt1}$

Utilizando triángulos semejantes, obtenemos $x$ -coordenada de $Q$ ser $r-(r-1)=1$ .

La suma de los gajos de lavanda y naranja debe ser $r$ veces la longitud del segmento de lavanda; es decir, $$ \color{#8080FF}{x}+\color{#FF8000}{r}=\frac{\color{#C00000}{r}}{\color{#00A000}{1}}\color{#8080FF}{x} $$ resolviendo da $$ x=\frac{r}{r-1} $$

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Si el centro de $C_1$ está a la izquierda de $(0,0)$ entonces el $x$ -coordenada de $Q$ será $-1$ .

Answer 2

Forma de pendiente de la ecuación tangente de una circunferencia con centro $(a,b)$ pendiente $m$ y radio $r$ es: $(y-b)=m(x-h)+r\sqrt{1+m^2}$

dejar tangente a $C$ ser: $y=mx+\sqrt{1+m^2}$

Tangente a $C_1$ : $y=m(x-h)+h\sqrt{1+m^2}$

$(h,0)$ es el centro de $C_1$

Dado que las tangentes representan la misma línea, $$-mh+h\sqrt{1+m^2}=\sqrt{1+m^2}$$

Resolviendo la ecuación anterior para m, $$m=\pm\frac{h-1}{\sqrt{2h-1}}$$

Tomaré el símbolo más para $m$ . ( $\pm$ muestra que son posibles dos tangentes de este tipo).

Sustituyendo $m$ en la ecuación tangente de $C$ y reordenando, $$(y\sqrt{2h-1}+x)-h(x+1)=0$$

Esta es una ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas $y\sqrt{2h-1}+x=0$ y $x=-1$ con $h$ como parámetro. Está claro que $Q$ tiene que ser el punto de intersección de la familia de rectas ya que es el único punto que se encuentra en la recta para cualquier valor de $h$ .

La coordenada x del punto de intersección es $-1$ . Así que $x^2=1$ .