En la teoría de la probabilidad, cuando se tiene $ E(f(X))=\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dg(x) $ una expectativa de una función medible $f$ de una variable aleatoria $X$ con respecto a su función de distribución acumulativa $g$ ,
Gracias y saludos.
Esta pregunta está estrechamente relacionada con su otra pregunta sobre las integrales de Riemann-Stieltjes.
En el caso de que $f$ es continua, estos dos tipos de integrales coinciden siempre que sean finitas.
Pero también hay otros casos. Por ejemplo, $f$ es meramente medible por Borel, entonces la integral de Lebesgue-Stieltjes $\int f(x) dg(x)$ está definida, pero no la integral de Riemann-Stieltjes porque $f$ puede ser ilimitado. Esto sigue teniendo una interpretación probabilística porque en este caso $f(X)$ sigue siendo una variable aleatoria, y podemos seguir considerando la expectativa de $f(X)$ .
Si $f$ es continua, entonces $\int_a^b {f(x)dF(x)} = \int_a^b {f(x)d\mu (x)} $ para cualquier $-\infty < a < b < \infty$ , donde $F$ y $\mu$ son la función de distribución y la distribución de probabilidad de $X$ respectivamente (están relacionados por $\mu((s,t])=F(t)-F(s)$ para cualquier $-\infty < s < t < \infty$ ).
Un inconveniente de la integral de Riemann-Stieltjes se ilustra en el siguiente ejemplo sencillo. Supongamos que $X=0$ casi seguro. Entonces, $\int {F(x)dF(x)} $ no está definido, mientras que $\int {F(x)d\mu (x)} = F(0) = 1$ . Por supuesto, ${\rm E}[F(X)] = {\rm E}[F(0)]= 1$ .
Otro inconveniente (más importante) se indica en la respuesta de GWu.
Tal vez sea mejor para usted utilizar la notación $$ \mathsf{E}[f(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}}f(x)Q(dx) $$ donde $Q$ es una distribución de un v.r. $X$ . Entonces no tiene que preocuparse si $X$ es un vector continuo o uno discreto. Entonces, dependiendo de lo que sepas sobre $X$ (función de distribución acumulativa $g$ o una función de densidad $h$ ) reescribirás la primera ecuación utilizando $$ Q(dx) = dg(x) = h(x)\,dx. $$ Normalmente, en la teoría de la probabilidad sólo se utilizan las integrales de Lebesgue (Lebesgue-Stieltjes). Por otra parte, para calcularlas se puede utilizar una equivalencia de integrales de Lebesgue-Stieltjes y de Riemann-Stieltjes (siempre que se den las condiciones necesarias).
Editado: Para la distribución discreta CDF $g$ es una función de salto pura con saltos en valores $\alpha_i$ de la r.v. $X$ y tamaños de saltos $p_i$ tal que $p_i = \mathsf{P}(X = \alpha_i)$ . Entonces la integral es de nuevo una integral de Lebesgue por encima se puede reescribir como una integral de Lebesgue-Stieltjes utilizando $g$ o como una suma.
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