Deje que $(s_n)$ ser una secuencia de números no negativos, y $ \sigma_n = \frac {1}{n}(s_1+s_2+ \cdots +s_n)$ . Demuestra que $ \liminf s_n \le \liminf \sigma_n $ .

Question

Deje que $(s_n)$ ser una secuencia de números no negativos, y para cada uno de ellos $n$ definir $ \sigma_n = \frac {1}{n}(s_1+s_2+ \cdots +s_n)$ .

Muestra que $ \liminf s_n \le \liminf \sigma_n $ .

En realidad, mostré $ \limsup \sigma_n \le \limsup s_n$ de la siguiente manera.

Para cualquier $n \gt M \gt N$ podemos obtener la siguiente desigualdad,

$ \sup \{ \sigma_n : n \gt M\} \le \frac {1}{M}(s_1+s_2+ \cdots +s_N)+ \sup\ {s_n:n \gt N\}.$

Así que primero tomando el límite como $M \to \infty $ entonces como $N \to \infty $ tenemos la desigualdad.

Sin embargo, este método no funciona para el $ \liminf $ ya que la desigualdad anterior se derivó del hecho de que $1/n \lt 1/M$ . ¿Cómo puedo mostrar la desigualdad para el $ \liminf $ caso? Apreciaría mucho cualquier sugerencia o solución.

Answer 1

Dejemos que $\liminf s_n=s$ , $\liminf\sigma_n=\sigma$ y supongamos $\sigma<s$ . Escoge $t\in (\sigma,s)$ . Entonces, para un número infinito de $n$ , $\sigma_n<t$ . Escoge $l\in(t,s)$ . Entonces, para un número infinito de $n$ , $s_n<l$ y por lo tanto $s\leq l<s$ . Contradicción.

O

Para cualquier $\epsilon>0$ , para $n$ lo suficientemente grande $s-\epsilon< s_n$ . Por lo tanto, para cualquier $\epsilon_1>0$ para $n$ lo suficientemente grande $s-\epsilon-\epsilon_1<\sigma_n$ . Por lo tanto, $s-\epsilon-\epsilon_1\leq\sigma$ . Dado que esto es válido para cualquier $\epsilon$ , $\epsilon_1$ , $s\leq\sigma$ .

Answer 2

He pensado en una solución similar a la utilizada para demostrar el caso limsup, sin embargo, no estoy seguro de que sea correcta.

Para cualquier $n\gt N$ , $\sigma_n=\frac{s_1+s_2+\cdots s_N+ \cdots s_n}{n}\ge \frac{s_1+\cdots +s_N}{n}+\frac{n-N}{n}\dot \inf\{s_n:n\gt N\}$ .

Por lo tanto, tenemos $\inf\{\sigma_n: n\gt N\} \ge \frac{s_1+\cdots +s_N}{n}+\frac{n-N}{n}\dot \inf\{s_n:n\gt N\}$ .

Dejando ahora $n\to \infty$ tenemos $\inf\{\sigma_n: n\gt N\} \ge \inf\{s_n:n\gt N\}$ . Y luego dejar que $N\to \infty$ obtenemos la desigualdad deseada.