Espacios del vector dimensionales infinitos vs el espacio dual

Question

Me acaba de pasar a través de este sobre en Matemáticas de Desbordamiento. A los que hace referencia el siguiente teorema de álgebra lineal:

Un espacio vectorial tiene la misma dimensión como su doble si y sólo si es finito dimensionales.

Me gustaría hacer una pregunta física utilizando el infinito plaza de bien (SIA) en la mecánica cuántica como la motivación. Para el ISW obtenemos $$\psi_n=A_n\sin(\frac{n\pi x}{a})$$ as the eigenfunctions of the Hamiltonian. Here $n=1,2,3,4...$ enumerates the states. If I understand correctly this is an infinite dimensional vector space, because the $\psi_n$'s form an infinitely large basis (ie there is no largest value of $n$). If the dual space is the set of functions $\psi_n^*$ (que yo creo que es) ¿cómo puede el vector de espacio y el espacio dual tienen diferentes dimensiones?

Answer 1

Hay dos conceptos de la dualidad de espacios vectoriales.

Uno es el dual algebraico que es el conjunto de todos los lineales de los mapas. Precisamente, dado un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{K}$, el dual algebraico $V_{alg}^*$ es el conjunto de todos los lineales de las funciones de $\phi:V\to \mathbb{K}$. Este es un subconjunto de a $\mathbb{K}^V$, el conjunto de todas las funciones de$V$$\mathbb{K}$. La prueba se puede ver en matemáticas desbordamiento de los usos, a grandes rasgos, el hecho de que la cardinalidad de a $\mathbb{K}^V$ es estrictamente mayor que la cardinalidad de a $\mathbb{K}$ si $V$ es de infinitas dimensiones y tiene al menos la misma cardinalidad como $\mathbb{K}$.

Así que para algebraicas duales, el doble de cualquier infinito espacio vectorial tiene mayor dimensión que el espacio original.

El otro concepto es el dual topológico, que solo pueden ser definidas sobre espacios vectoriales topológicos (debido a una noción de continuidad es necesario). Dado un espacio vectorial topológico $T$, el dual topológico $T_{top}^*$ es el conjunto de todos lineal continua funcionales (continua w.r.t. la topología de $T$). Es un subconjunto de la algebraicas dual, es decir,$T_{top}^*\subset T_{alg}^*$.

Para topológico duales, la restricción a la continua funcionales hace que la anterior declaración falsa (es decir, existen infinitas dimensiones topológicas espacios vectoriales cuya dual topológico tiene la misma dimensión del espacio original).

El ejemplo habitual son espacios de Hilbert, donde la representación de Riesz teorema sostiene (ver mi comentario anterior): cualquier objeto de la dual topológico $H^*_{top}$ de un espacio de Hilbert $H$ puede ser identificado a través de isomorfismo con un elemento de $H$. Para un espacio de Hilbert y su dual son "el mismo".

Tenga en cuenta sin embargo que el dual topológico es siempre pensé que para ser "más grande (o tal vez igual)" que el espacio original. Estoy muy no precisa aquí, pero creo que el siguiente ejemplo aclara. Creo que para las distribuciones $\mathscr{S}'(\mathbb{R})$. Este es el dual topológico de las funciones de una rápida disminución del $\mathscr{S}(\mathbb{R})$. Cualquier $f\in \mathscr{S}$ es isomorfo a una distribución en $\mathscr{S}'$, pero el recíproco no es obviamente cierto: hay distribuciones que no son funciones del (la delta de Dirac), y en general cualquiera de las $L^p$-espacio está pensado como un subconjunto de a $\mathscr{S}'$ (por lo $\mathscr{S}'$ es bastante "grande").

Answer 2

Limitarnos a sólo espacios vectoriales sin ningún extra estructura, el teorema es verdadero.

Una forma de ver esto es para nota de que cualquier miembro de la $f$ de la doble espacio es único, definido por el valor que devuelve actuar sobre la base $\{\psi_n\}$, decir $f(\psi_n) = z_n$ para los números complejos $z_n$. A continuación, $V^*$ es isomorfo a $\mathbb{C}^\mathbb{N}$, el conjunto de secuencias de números complejos. Es un hecho bien conocido que la $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ no tiene una contables base de un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, y es una simple cuestión de extender esto a $\mathbb{C}^\mathbb{N}$ no tener una contables base de más de $\mathbb{C}$. Si esto no parece intuitivo (por ejemplo, saltar a pensar en la "base" $\{(1,0,0,\ldots), (0,1,0,\ldots), \ldots\}$), la clave está en que sólo finito de sumas están permitidos en raw espacios vectoriales; ¿qué significa para agregar un número infinito de vectores sin una noción de convergencia?

Una físicamente más inspirado argumento en contra de la idea de que el complejo de la conjugación de los rendimientos (de base) de todos los miembros de $V^*$ es considerar delta-funciones. Para algunos $x_0$ en el intervalo de tiempo, considere la posibilidad de "$\delta(x-x_0)$", la "función" que se integra en contra de $f \in V$ a regresar $f(x_0)$. En la actualidad, $\delta$ es perfectamente válido miembro de $V^*$, definido por $\delta(\psi_n) = \psi_n(x_0)$. Supongamos $\delta = a_1 \psi_{n_1}^* + \cdots + a_k \psi_{n_k}^*$ podría ser escrita. Pero, a continuación, $a_1^* \psi_{n_1} + \cdots + a_k^* \psi_{n_k}$ estaría perfectamente bien educados finito suma de senos que fue el complejo conjugado de la delta de la "función" - una clara falta de sentido de resultado. Además, $$ (a_1 \psi_{n_1}^* + \cdots + a_k \psi_{n_k}^*)(\psi_n) = a_k \delta_{n,n_k}, $$ que es $0$ para todos, pero un número finito de $n$, mientras que el $\psi_n(x_0)$ puede ser distinto de cero para cada $n$ (elija $x_0$ a un ser irracional múltiples de $a$).