Sabemos que la derivada de una función llamada$f(x)$ se puede escribir como un límite, como aquí:$$\frac{d}{dx}f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ $, pero
¿Hay alguna definición de las integrales en forma de límites?
Respuestas
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Recordemos que una partición de un intervalo de $[a,b]$ es simplemente un conjunto de puntos del intervalo, que es $a$ y el otro, que es $b$.
Darboux Integral de La construcción es como sigue. Definimos la parte superior e inferior de sumas, $U$ $L$ $f$ para la partición de $P$ como sigue: $U(f,P) =\sum_{i=1}^n (a_{i}-a_{i-1})M_i $. $L(f,P) =\sum_{i=1}^n (a_{i}-a_{i-1})m_i $ donde$M_i = \sup\limits_{[a_{i-1},a_i]} f(x)$$m_i = \inf\limits_{[a_{i-1},a_i]} f(x)$. Si $f$ pasa a ser continuo que sólo podemos definir como el máximo y el mínimo de $f$ en el intervalo de $[a_{i-1},a_i]$. Muchas propiedades se derivan, pero un importante resultado es el siguiente (Spivak del Cálculo, de la Ch. 13, pág.355):
Si es el caso que $$\inf \left\{ U\left( {f,P} \right);\text{ P is a partition of I} \right\} = \sup \left\{ L\left( {f,P} \right); \text{ P is a partition of I} \right\}$$ luego nos dice $f$ es integrable en a $I$ e indicar este valor común por $$\int_a^b f(x) dx$$
El segundo aspecto importante es el teorema (Spivak del Cálculo, de la Ch. 13, pág.356)
Si $f$ está acotada en un intervalo de $I$, entonces es integrable en a $I$ si por cualquier $\epsilon >0$ existe una partición de $P$ $I$ tal que $$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$$
Un ejemplo podría ayudar. Tome $f:[0,1]\to\Bbb R$$x\mapsto x^2$. Dividimos $[0,1]$ a $n$ intervalos. $[0,1/n],[1/n,2/n],[2/n,3/n],\dots,[(n-1)/n,n/n]$. Nota tenemos que $\Delta P = 1/n$. Desde nuestra función es monótona creciente, podemos elegir el $M$ $m$ como máximo y mínimos. Que es $$M_i = f(a_i)= \frac{i^2}{n^2}$$
$$m_i = f(a_i)= \frac{(i-1)^2}{n^2}$$
Las sumas son entonces
$$\eqalign{ & U\left( {f,P} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{{{i^2}}}{{{n^2}}}} = \frac{1}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} \cr & L\left( {f,P} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}\frac{{{{\left( {i - 1} \right)}^2}}}{{{n^2}}}} = \frac{1}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{i^2}} \cr} $$
Los importes pueden ser evaluados para el rendimiento
$$\eqalign{ & U\left( {f,P} \right) = \frac{1}{{{n^3}}}\frac{{n\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{6} \cr & L\left( {f,P} \right) = \frac{1}{{{n^3}}}\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right)}}{6} \cr} $$
Tenemos entonces que
$$\frac{1}{{{n^3}}}\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right)}}{6} < \int\limits_0^1 {{x^2}dx} < \frac{1}{{{n^3}}}\frac{{n\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{6}$$
Tenga en cuenta que nosotros podemos hacer la diferencia de las cantidades arbitrariamente cerca el uno del otro tomando más fino y más fino de las particiones, que es $U\left( {f,P} \right) - L\left( {f,P} \right) < \frac{1}{n}$ y desde:
$$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\frac{{n\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{6} = \frac{1}{3} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right)}}{6} = \frac{1}{3} \cr} $$
La anterior nos permite concluir que
$$\int\limits_0^1 {{x^2}dx} = \frac{1}{3}$$
Un final engaño puede ser utilizado ahora que tenemos este resultado para obtener una nueva:
$$\int\limits_0^a {{x^2}dx} = {a^3}\int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^2}d\left( {\frac{x}{a}} \right)} = {a^3}\int\limits_0^1 {{u^2}du} = \frac{{{a^3}}}{3}$$
Y, a continuación, ($b>a$)
$$\int\limits_a^b {{x^2}dx} = \int\limits_0^b {{x^2}dx} - \int\limits_0^a {{x^2}dx} = \frac{{{b^3}}}{3} - \frac{{{a^3}}}{3}$$
Riemann Integral. Recuerde dada una partición $P=\{x_i\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ llamamos colección de números que $x_{i-1}\leqslant t_i\leqslant x_i$ un conjunto de etiquetas para la partición de $P$. En este caso tenemos ningún superior o inferior sumas, pero una suma:
$$R(f,P)=\sum_{i=1}^n f(t_i) (x_i-x_{i-1})$$
Decimos que $f$ es Riemann integrable en $I$ e indicar $$\int_a^b f(x) dx = \mathcal I$$ if, for any $\epsilon >0$, there exists a $\delta >0$ such that, if $\Delta P < \delta$, entonces
$$\left| R(f,P)- \mathcal I\right|<\epsilon$$
Tenga en cuenta que para cualquier suma de Riemann, tenemos que
$$L(f,P) \leqslant R(f,P) \leqslant U(f,P)$$
Esto puede ser usado para demostrar la afirmación de que
$f$ es integrable Darboux $\iff$ $f$ es Riemann integrable.
mkoryak
Puntos
18135
Sí, un integral definida se define también como un límite. (Hay varias maneras de hacerlo)
$$ \int_a^b f (x) \; DX = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{n} f (icadas {i}) \Delta x $$ donde $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$ $ y $$x_i = a + i\Delta x.$ $
Ahora para obtener una comprensión de por qué esto tiene sentido, por ejemplo puedes echar un vistazo a este artículo de Wikipedia:
