Si $n$ es impar entonces no hay intersecciones de $3$ o más de las diagonales y el problema puede ser analizado con bastante simplemente. Vamos a definir una diagonal a ser de rango $k$ ($k=0, \ldots, (n-1)/2$) si entre sus dos extremos $k$ vértices están formados. Por supuesto rango $0$ diagonales son los lados del polígono, que forman el círculo exterior. Una diagonal de rango $1$ cruza todas las $n-3$ diagonales emitido desde el único punto que lo componen, así tenemos $n-3$ puntos de intersección. Pero estos puntos están dispuestos simétricamente en la diagonal, por lo que tienen la misma distancia desde el centro de pares y pertenecen a $(n-3)/2$ diferentes círculos.
Ahora vamos a considerar un rango de $2$ diagonal. Queremos contar sus intersecciones con el resto de las diagonales tener rango $2$ o más, porque sus intersecciones con el rango de $1$ diagonales ya se han contado antes. Que la diagonal que cruza todas las $2(n-5)$ de las diagonales de la fila $\ge2$ emitido desde el punto dos que lo componen, sino por la simetría tenemos $2(n-5)/2$ diferentes círculos.
Este análisis se puede repetir, por lo que el número total $N$ de los círculos tenemos:
$$
N=1+1{n-3\over2}+2{n-5\over2}+3{n-7\over2}+\ldots,
$$
donde la inicial $1$ es debido a que el círculo exterior. Que es:
$$
N=1+\sum_{k=1}^{(n-1)/2}k{n-2k-1\over2}=1+{(n+1)(n-1)(n-3)\over48}.
$$
Sin embargo, si sus resultados son correctos, esta fórmula falla por $n=15$ pero no he comprueba explícitamente ese caso.
Si $n$ es incluso el análisis se vuelve mucho más complicado debido a la presencia de múltiples diagonal intersecciones, vea el documento citado por Luciano arriba.
