Deje $\Lambda(n)$ ser la de von Mangoldt función, es decir, $\Lambda(n) = \log p$ $n$ un excelente poder de $p^k$ $\Lambda(n) = 0$ todos los $n$ que no prime poderes. Vamos
$$S(\alpha) = \sum_{n \leq N} \Lambda(n) e(\alpha n).$$
Ahora, usando, por ejemplo, Lema 7.15 en Iwaniec-Kowalski (o el mismo resultado en Montgomery), obtenemos
$$\sum_{q \leq q_0} \sum_{un \pmod{q}: \gcd(a,q)=1} \lvert S(a/q)\rvert^2 \leq \frac{(N + Q^2) N \log N}{\sum_{\substack{q\leq Q \text{ squarefree} \\ \gcd(p,P(q_0))=1}} \phi(q)^{-1}},$$
donde $Q$ es arbitrario y $P(z):=\prod_{p \leq z} p$.
En la práctica, elegimos $Q$, ligeramente menor que $\sqrt{N}$, y obtener
$$\sum_{q \leq q_0} \sum_{\substack{a \pmod{q} \\ \gcd(a,q)=1}} \lvert S(a/q) \rvert^2 \leq (1+\epsilon) 2 e^\gamma N^2 \log q_0,$$
donde gamma de Euler es la constante de $0.577\cdots$ $\epsilon$ es muy pequeña.
Ahora, el 2 en la enlazado $\leq (1+\epsilon) 2 e^\gamma N^2$ es debido a la paridad problema, y por lo tanto debe ser imposible eliminar (con la excepción de pequeñas $q_0$). Sin embargo, el factor de $e^\gamma$ claramente no tiene derecho a existir. El verdadero asintótica debe ser, simplemente,$N^2 \log q_0$.
Podemos eliminar esa fea $e^\gamma$? Es decir, se puede demostrar un enlace de tipo
$$\sum_{q \leq q_0} \sum_{\substack{a \pmod{q} \\ \gcd(a,q)=1}} \lvert S(a/q)\rvert^2 \leq (1+\epsilon) 2 N^2 \log q_0 ?$$
Harald
