Convergencia uniforme: Las dos definiciones

Question

Sé de las dos definiciones equivalentes para la convergencia uniforme. A saber:

$f_n(x)$ converge uniformemente a $f(x)$ si bien:

a)$$ \forall \epsilon \existe N \in \mathbb N s.t. \forall x \in D \ \forall n \geq N: |f_n(x) - f| < \epsilon $$

o

b) $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x\in D} |f_n(x) - f(x)| = 0 $$

Mientras veo por qué en el caso de un (a) la misma "velocidad de convergencia" está garantizado, ya que uno epsilon es elegido por todos los $x$, yo por desgracia no se puede hacer sentido de b) en un nivel intuitivo. Por lo que veo, b) los estados que la mayor diferencia entre las secuencias de las funciones y el límite de las funciones que la convierten en cero para n va hasta el infinito. Pero, ¿cómo que también la garantía de este proceso de convergencia es el de "velocidad uniforme" para todo x?

Answer 1

Si entiendo correctamente, usted quiere convencer a ti mismo de (b)$\to$(a).

Asumir (b), y deje $\epsilon>0$ ser un número positivo arbitrario. Ya hemos asumido que $\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|\to0$ existe $N$ tal que $\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ todos los $n\ge N$, es decir, para todos los $x\in D$, y para todos los $n\ge N$, $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$, que es, (un).

El $\sup$ es no sólo como una manera corta de decir que todas las $|f_n(x)-f(x)|$ son menores de algo - si el supremum de un conjunto es inferior a $\epsilon$, entonces es claro que cada elemento de ese conjunto es inferior a $\epsilon$, y el límite es sólo una corta distancia a escribir todo el $\forall \epsilon \exists N$ part.

Answer 2

La declaración de que el límite existe en (b) es exactamente la afirmación de que $\forall \; \epsilon > 0, \exists \; n \; \text{ s.t. } \forall m > n, \sup |f_m - f| < \epsilon$. El 'uniforme' de la parte, es decir, el de todos los $x$ parte, se presenta como el $\sup$ naturalmente saca el mayor delincuente.

Answer 3

No es necesariamente que la convergencia tiene lugar a una velocidad uniforme, tanto como que hay una velocidad de convergencia de tal manera que todos pointwise convergencia tiene lugar en al menos esa velocidad. Dicho de otra manera, hay una secuencia $c_n>0$ tal que $c_n\to 0$ y que, por $n$ lo suficientemente grande, $f_n$ se queda dentro de la vertical de la ventana entre el$f+c_n$$f-c_n$.

Para un ejemplo de que no tenemos un "uniforme de velocidad", $f$ a ser la constante de $0$ función en $[a,b]$ algunos $-1<a<0<b<1$, y dejar que cada una de las $f_n$ ser $[a,b]$ por $$f_n(x)=\begin{cases}0 & x<0\\ x^n & \text{otherwise.}\end{cases}$$ Then we have uniform convergence of the $f_n$ to $f$ on $[a,b]$, but the convergence was immediate in $[un,0]$, and not in $(0,b]$.