Imaginario $\cos^{-1}$ valor de importancia?

Question

Cuando estaba aburrido en AP Psych el año pasado, yo en broma pregunté si había un coseno inverso de $2$. Curioso acerca de ella, traté de calcular de la siguiente manera: $$ \begin{align*} \cos (x) &= 2 \\ \sin (x) &= \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \sqrt{1 - 4} = \pm i \sqrt{3} \end{align*} $$ Entonces, por la fórmula de Euler, que han $$ \begin{align*} e^{ix} &= \cos (x) + i \sin (x) \\ e^{ix} &= 2 \pm\sqrt{3} \\ ix &= \ln (2 \pm \sqrt{3}) \\ x &= \boxed{-i \ln (2 \pm \sqrt{3})} \end{align*} $$

Así, hay una manera de calcular el coseno inverso de los números cuya magnitud es mayor que $1$ (esto fue verificado en Wolfram Alpha). ¿Hasta qué punto este tipo de cálculo válidos? Tiene interesantes aplicaciones/implicaciones en matemáticas, o de cualquier otro sujeto? Gracias. :)

Editar me di cuenta de que esto es muy fácil de explicar por $2\cos (x) = e^{ix} + e^{-ix}$, pero todavía estoy curioso por saber si esto tiene algún significado/intuición.

Answer 1

El trigonométricas y las funciones hiperbólicas son intercambiables por el cambio de lo real a lo imaginario.

$$\cos(ix)=\frac{e^{i^2x}+e^{-i^2x}}2=\frac{e^{-x}+e^x}2=\cosh(x),\\ \sin(ix)=\frac{e^{i^2x}-e^{-i^2x}}{2i}=-i\frac{e^{-x}-e^x}2=i\sinh(x),$$ y a la inversa $$\cosh(ix)=\cos(x),\\\sinh(ix)=i\sin(x).$$ Estos son sólo dos facetas de la exponencial compleja.

También considere el círculo unidad restricción $c^2+s^2=1$. Si se le pasa con $|c|>1$,

$$s=\pm\sqrt{1-c^2}=\pm i\sqrt{c^2-1}$$ es una hipérbola en el plano imaginario $(c,is)$ que se puede ver como perpendicular al plano de la $(c,s)$.

Answer 2

Debo señalar que hay un error en su trabajo. Su ecuación:

$$e^{ix}=2\pm i\sqrt{3}$ $ , en cambio, deben $$e^{ix}=2+ i(\color{red}{\pm i\sqrt{3}}).$$

De hecho, la función de $f(z)=\arccos(z)$ es puramente imaginario para $\Re(z)>1.$ A ver por qué, primero vamos a considerar el hecho de que $\arccos(x)$ rango $[0,\pi].$ esto nos lleva a que el único valor de $\arcsin 2=\color{red}+i\sqrt{3}.$ Que hace

$$\arccos2 = -i\ln(2+i^2\sqrt{3})=\fbox{$-i\ln(2-\sqrt{3})$}.$$

Ahora para $x\in\mathbb{R},$ hemos

$$\arccos{|x|}=-i\ln\left(\cos|x|+i\sqrt{1-\cos^2|x|}\right),$$

donde $|\cos x|>1$ devuelve un imaginario puro valor y $|\cos x|\le 1$ devuelve un valor real.

Para el caso de que $|\cos x|\le1$ considerar el logaritmo complejo se define como $$\ln(a+bi)=\ln\sqrt{a^2+b^2}+i\arctan(b/a),$$ que puede ser derivada a través de la Fórmula de Euler (nota: $\arctan(b/a)$ puede ser necesario ajustar para qué cuadrante, el ángulo se encuentra en). Dejando $a=\cos x$ $b=\sin x$ bajo esta restricción se elimina el primer término en el lado derecho.