La referencia original de este hecho es el papel de Yang-Mills Ecuaciones sobre las Superficies de Riemann por Atiyah y Bott.
La idea es la siguiente. Deje $P \longrightarrow \Sigma$ principal $G$-paquete a través de una superficie de Riemann y deje $\mathcal{A}$ denotar el espacio de las conexiones en $P$. Para una conexión de $A \in \mathcal{A}$, podemos definir
$$\omega_A : T_A \mathcal{A} \times T_A \mathcal{A} \longrightarrow \Bbb R,$$
$$\omega_A(\alpha, \beta) = \int_\Sigma \langle \alpha \wedge \beta \rangle.$$
Aquí hemos identificado $T_A \mathcal{A}$ $\Omega_\Sigma^1(\mathrm{Ad}(P))$ desde $\mathcal{A}$ es un espacio afín basa en $\Omega_\Sigma^1(\mathrm{Ad}(P))$. $\langle \alpha \wedge \beta \rangle$ es la composición
$$\Omega_\Sigma^1(\mathrm{Ad}(P)) \times \Omega_\Sigma^1(\mathrm{Ad}(P)) \xrightarrow{~\wedge~} \Omega_\Sigma^2(\mathrm{Ad}(P)) \xrightarrow{~\langle \cdot, \cdot \rangle ~} \Omega_\Sigma^2,$$
donde $\langle \cdot, \cdot \rangle$ $\mathrm{Ad}$invariante en el interior del producto en la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Ahora tenemos la siguiente.
Teorema. $\omega$ es una forma simpléctica en $\mathcal{A}$, y la actuación del grupo de gauge transformaciones $\mathcal{G}$ $\mathcal{A}$ es Hamiltoniano con respecto a esta estructura simpléctica y tiene momento de mapa de $\mu(A) = -F_A$.
Aquí tenemos en cuenta la curvatura mapa
$$F: \mathcal{A} \longrightarrow \Omega_\Sigma^2(\mathrm{Ad}(P))$$
como un mapa
$$F: \mathcal{A} \longrightarrow \mathrm{Lie}(\mathcal{G})^\ast$$
a través de la identificación
$$\Omega_\Sigma^2(\mathrm{Ad}(P)) = \Omega_\Sigma^0(\mathrm{Ad}(P))^0 \cong \mathrm{Lie}(\mathcal{G})^\ast.$$
Cuando tenemos un momento de mapa, se puede formar la Marsden-Weinstein cociente
$$\mathcal{A} /\!\!/ \mathcal{G} = \mu^{-1}(0)/\mathcal{G},$$
que es un estratificado simpléctica espacio (un simpléctica orbifold si $0$ es un valor regular de $\mu$, y un simpléctica colector de si $0$ es un valor regular de $\mu$ y la acción de la $\mathcal{G}$ es gratis). Desde $\mu$ es menos de la curvatura, vemos que $\mu^{-1}(0) = \mathcal{A}^\flat$, el espacio de la plana conexiones en $P$. Por lo tanto
$$\mathcal{A} /\!\!/ \mathcal{G} = \mathcal{M}^\flat,$$
donde $\mathcal{M}^\flat$ denota el espacio de moduli de tv de conexiones en $P$.
Hay algunas advertencias aquí. La costumbre de Marsden-Weinstein cociente se define para un finito-dimensional simpléctica colectores con un Hamiltoniano de acción; aquí $\mathcal{A}$ es de dimensiones infinitas. Sin embargo, uno puede mostrar que el proceso formal por encima de las obras y $\mathcal{M}^\flat$ es finito-dimensional.
En cuanto a la definición de simpléctica orbifold, recordemos que un orbifold $\mathcal{O}$ tiene un orbifold atlas $\{(U_i, \tilde{U}_i, \phi_i, \Gamma_i)\}$ donde $U_i \subset \mathcal{O}$ está abierto, $\tilde{U}_i \subset \Bbb R^n$ es abierto y conectado, $\phi_i: U_i \longrightarrow \tilde{U}_i$ es un mapa continuo, y $\Gamma_i$ es un grupo finito de diffeomorphisms de $\tilde{U}_i$. Una forma simpléctica en $\mathcal{O}$ se especifica en términos de la orbifold atlas por una familia de simpléctica formas $\{\omega_i\}$ donde $\omega_i$ es una forma simpléctica en $\tilde{U}_i \subset \Bbb R^n$ que es invariante bajo la acción de $\Gamma_i$. Requerimos los siguientes compatibilidad de condición entre el $\omega_i$. Recordemos que la superposición condición para un orbifold va como sigue: si $x \in \tilde{U}_i$ $y \in \tilde{U}_j$ son tales que $\phi_i(x) = \phi_j(y)$, entonces no es un barrio de $V_x$ $x$ $V_y$ $y$ y un diffeomorphism
$$\psi: V_x \longrightarrow V_y$$
tal que
$$\phi_i(z) = \phi_j(\psi(z)) \text{ for all } z \in V_x.$$
A continuación, nuestra compatibilidad condición es que
$$\omega_i = \psi^\ast \omega_j.$$
