Mi amigo y yo estábamos hablando antes hoy y él planteó el siguiente problema, que no conoce la respuesta a: Toma un número real, $a$, y mira las potencias consecutivas de $a$: $a,a^{2},a^{3},...$ y mira la parte fraccionaria de las potencias, es decir $a^k - \lfloor a^k \rfloor$. ¿A qué valores puede converger la parte fraccionaria de las potencias, si es que hay alguna? Obviamente $0$ es una parte fraccionaria, pero él cree que todas las racionales pueden serlo. Luego extendió sus respuestas a todos los números que no son trascendentes. Solo pensé que era una buena pregunta y estoy curioso por saber cuál es la respuesta.
Respuestas
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Oli
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89
En caso de que no lo hayas observado, debo mencionar que puedes obtener $1$ como límite. Por ejemplo, sea $a=3+2\sqrt{2}$. No es difícil verificar que $$(3+2\sqrt{2})^n +(3-2\sqrt{2})^n$$ es un número entero para cada entero no negativo $n$. Una forma es expandir cada potencia usando el Teorema del Binomio, y observar que los términos que involucran potencias impares de $\sqrt{2}$ se cancelan.
Para $n$ grande, $(3-2\sqrt{2})^n$ es positivo y cercano a $0$. Se sigue que $(3+2\sqrt{2})^n$ está ligeramente por debajo de un entero, y por lo tanto $$(3+2\sqrt{2})^n -\lfloor(3+2\sqrt{2})^n\rfloor$$ es casi igual a $1$.
Andrew
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140
Es bastante bien estudiado. Mira este clásico de Hardy y Littlewood, y esta serie de artículos de Vijayaraghavan. En particular, se sabe que la secuencia $\{x^k\},\quad x > 1$ está equidistribuida para la mayoría de los números, con algunas excepciones como $x=1+\sqrt 2$ y $x=\phi$. Mira el enlace de MathWorld para ver el comportamiento interesante cuando $x=\frac32$.
