Cómo demostrar a $dxdy = r dr d \theta$?

Question

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$

Llegué $dx = \cos \theta dr - r \sin \theta d \theta $

$ dy = \sin \theta dr + r \cos \theta d \theta$

Cómo conseguir $dx dy = r dr d \theta$??

Yo vi la misma pregunta Rigurosa prueba de que $dx dy=r\ dr\ d\theta$.

Pero no estoy llegando a donde los vectores están llegando a la foto gracias.

Answer 1

Cómo conseguir $dx\;dy=r\;dr\;dθ$?

Le sugiero que eche un vistazo a Avanzado cálculo de varias variables por C. H. Edwards. En la Sección 5 del Capítulo IV, se puede leer algo como esto:

El estudiante, sin duda, ha visto el cambio de las variables de las fórmulas tales como $$\iint f(x,y)\;dx\;dy=\iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)\;r\;dr\;d\theta$$ que el resultado de los cambios de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. La aparición del factor de $r$ en la fórmula a veces se "explica" por los míticos imágenes, tal como figura a continuación, en las que supuestamente $dA$ es un "infinitesimal" rectángulo con lados de $dr$$r\;d\theta$, y por lo tanto ha de área $r \;dr\; d\theta$. En esta sección vamos a dar una mathemtaically aceptable explicación del origen de tales factores en la transformación de múltiples integrales de un sistema de coordenadas a otro.

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Para más detalles acerca de los Edwards enfoque, remito al lector a este post.

Answer 2

Una pieza de un anillo barrido por un cambio de ángulo de $\Delta \theta$ y un cambio de radio $\Delta r$, a partir de un punto dado por $(r,\theta)$, tiene área de $\Delta \theta \int_r^{r+\Delta r} s ds = \Delta \theta \frac{(r+\Delta r)^2-r^2}{2} = \Delta \theta \left ( r \Delta r + \frac{\Delta r^2}{2} \right )$. (Esto se calcula mediante la integración de la longitud de arcos circulares.)

Como $\Delta r \to 0$ el segundo término es asintóticamente mucho más pequeño que el primero, que de forma heurística justifica el cambio de las variables de la fórmula. Mostrando que este procedimiento, que es equivalente a la más general el procedimiento basado en el determinante Jacobiano, realmente hace que las integrales de hacer la cosa correcta toma algo más de trabajo. Los detalles se pueden encontrar en un típico pregrado reales de análisis de texto.

Answer 3

No es tan complicado. En primer lugar, directa multiplicación de los dos de la mano derecha cantidades y simplificación da el resultado!

Y en segundo lugar/básicamente (geométricamente) lo que queremos decir por área directamente es por la diferencia de longitudes de multiplicación de un rectángulo de lados de longitud $ dx \approx dr $ y la altura de la $ dy \approx r d\theta $ que debe ser apreciado por definición.