¿Cómo puedo encontrar $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^4 x}{x^2}\,dx$ ?

Question

Necesito ayuda para evaluar la siguiente integral $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^4 x}{x^2}\,dx$$ que probablemente debería ser igual a $\frac{\pi}{4}$

Usando algunas manipulaciones trigonométricas obtuve $\frac{3}{8} - \frac{\cos{2x}}{2} + \frac{\cos{4x}}{8}$ que usando la integración por partes no me lleva a nada bonito.

Actualización : No estoy seguro de si debo publicar esto como una pregunta separada, pero conseguir la explicación por qué $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{ax}}{x} = \frac{\pi}{2}$ para un número entero positivo $a$ podría ayudarme a resolver esta cuestión.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sin^4(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x &=4\int_0^\infty\frac{\sin^3(x)\cos(x)}{x}\,\mathrm{d}x\tag{1}\\ &=\frac12\int_0^\infty\frac{2\sin(2x)-\sin(4x)}{x}\,\mathrm{d}x\tag{2}\\[3pt] &=\frac\pi2-\frac\pi4\tag{3}\\[6pt] &=\frac\pi4\tag{4} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : integrar por partes
$(2)$ : escribir $\sin^3(x)=\frac{3\sin(x)-\sin(3x)}4$ entonces $\sin(ax)\cos(x)=\frac{\sin((a+1)x)+\sin((a-1)x)}2$
$(3)$ : uso $\int_0^\infty\frac{\sin(ax)}{x}\,\mathrm{d}x=\frac\pi2$

Answer 2

Si se hace una primera integración por partes $u=\sin^4(x)$ , $v'=\frac {dx}{x^2}$ , $u'=4\sin^3(x)\cos(x)dx$ , $v=-\frac 1x$ se obtiene $$\int \frac{\sin^4 (x)}{x^2}dx=-\frac{\sin^4(x)}x+\int\frac{4\sin^3 (x)\cos(x)}{x}dx$$ Ahora $$A=4\sin^3 (x)\cos(x)=\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)\Big(2\sin^2(x)\Big)=\sin(2x)(1-\cos(2x))$$ $$A=\sin(2x)-\frac 12 \sin(4x)$$ Así que, $$I=\int\frac{4\sin^3 (x)\cos(x)}{x}dx=\int\frac{\sin(2x)}x dx-\frac 12\int\frac{\sin(4x)}x dx$$ Cambio de variables $2x=y$ en la primera integral y $4x=y$ en la segunda integral se simplifica a $$I=\frac 12\int\frac{\sin(y)}y dy=\frac 12\text{Si}(y)$$ Ahora, utiliza los límites : el primer término es $0$ y lo que queda es entonces la mitad del valor de la integral del seno $\text{Si}(y)$ para un valor infinito de $y$ y esto último es $\frac \pi 2$ (consulte el post mencionado por Travis).

Editar

Con respecto a $\int\frac{\sin(ax)}x dx$ , hacer un cambio de variable $ax=y$ para conseguir $$\int\frac{\sin(ax)}x dx=\int\frac{\sin(y)}y dy=\text{Si}(y)$$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \int_{0}^{\infty}{\sin^{4}\pars{x} \over x^{2}}\,\dd x & = {1 \over 2}\int_{-\infty}^{\infty}{\sin^{4}\pars{x} \over x^{2}}\,\dd x = {1 \over 2}\lim_{N \to \infty}\int_{-N\pi}^{N\pi}{\sin^{4}\pars{x} \over x^{2}}\,\dd x \\[5mm] & = {1 \over 2}\lim_{N \to \infty}\sum_{k = -N}^{N - 1}\int_{k\pi}^{k\pi + \pi}{\sin^{4}\pars{x} \over x^{2}}\,\dd x = {1 \over 2}\lim_{N \to \infty}\sum_{k = -N}^{N - 1}\int_{0}^{\pi}{\sin^{4}\pars{x} \over \pars{x + k\pi}^{2}}\,\dd x \\[5mm] & = {1 \over 2}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\pars{x}\csc^{2}\pars{x}\,\dd x = {1 \over 2}\int_{0}^{\pi}{1 - \cos\pars{2x} \over 2}\,\dd x = \bbx{\pi \over 4} \end{align}

Answer 4

Creo que esta pregunta se hizo la otra semana, buscaré el enlace (y así eliminaré esta respuesta si la encuentro).

Mientras tanto, permítanme proporcionar una manera de calcular esta integral en términos de $\int_0^{+\infty}(\sin x)/x\,dx$ . No sé si cabe como respuesta, pero es demasiado largo para ser un comentario.

Paso 1 Utilice $\cos^2x+\sin^2x=1$ y la fórmula $\sin 2x=2\sin x\cos x$ para reducir el problema al cálculo de la integral $$ \int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2}. $$ (No se obtiene exactamente esta integral, sino una suma de este tipo de integrales).

Paso 2 Integrar por partes, donde se mueve la derivada de $-1/x$ a $\sin^2x$ . Esto le dará algo como $\int_0^{+\infty}(\sin x)/x\,dx$ . Te dejo los detalles.

Answer 5

Otra forma de resolver este problema es utilizar la integral parametrizada: Sea $$ I(s)=\int_0^\infty e^{-sx}\frac{\sin^4x}{x^2}dx. $$ Entonces \begin{eqnarray} I''(s)&=&\int_0^\infty e^{-sx}\sin^4xdx\\ &=&\int_0^\infty e^{-sx}(\frac{3}{8} - \frac{\cos{2x}}{2} + \frac{\cos{4x}}{8})dx\\ &=&\frac{3}{8s}-\frac{s}{2(s^2+4)}+\frac{s}{8(s^2+16)} \end{eqnarray} así que \begin{eqnarray} I(0)&=&\int_0^\infty\int_{t}^\infty(\frac{3}{8s}-\frac{s}{2(s^2+4)}+\frac{s}{8(s^2+16)})dsdt\\ &=&\frac{1}{16}\int_0^\infty(-6\ln t+4\ln(t^2+4)-\ln(t^2+16))dt\\ &=&\left.-\frac{3}{8} t \ln t+\frac{1}{4} t \ln \left(t^2+4\right)-\frac{1}{16} t \ln \left(t^2+16\right)-\frac{1}{2} \arctan ^{-1}\left(\frac{t}{4}\right)+\arctan ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right|_0^\infty\\ &=&\frac{\pi}{4}. \end{eqnarray}