No derivable la función de variación acotada han delimitado derivados?

Question

Me enteré de que $f$ es una función de variación acotada, cuando la función $f$ es diferenciable en a $[a,b]$ y se ha acotado derivado $f'$.

Lo que quiero saber es conversar parte. Si $f$ es diferenciable en a $[a,b]$ $f$ es una función de variación acotada, Es derivado de la $f$ delimitada? Supongo que es falso, pero no puedo encontrar un contraejemplo. Si es verdad, por favor, muéstrame la prueba.

Answer 1

Tomar $a=0$, $b=1$,

$$f(x) := \begin{cases} x^2 \cdot \sin x^{-\frac{3}{2}} & x \in (0,1] \\ 0 & x=0 \end{cases}$$

A continuación, $f$ es diferenciable y de variación acotada, sino $f'$ es ilimitado.

Sugerencia Para mostrar que $f$ es de variación acotada puede utilizar el siguiente teorema: Vamos a $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ diferenciable y $f' \in L^1([0,1])$. A continuación, $f$ es de variación acotada y $$\text{Var} \, f = \int_0^1 |f'(t)| \, dt$$

Comentario Como Pavel M sugirió también se puede demostrar que $f$ es de variación acotada por dividir el intervalo de $[0,1]$ en intervalos de $[a_n,b_n]$ tal que $f$ es monotono en $[a_n,b_n]$. Entonces uno puede fácilmente calcular la variación de $f$ en el intervalo de $[a_n,b_n]$ y utilice el hecho de que la variación en $[0,1]$ es igual a la suma de las variaciones en $[a_n,b_n]$.

Answer 2

$f(x)=\sqrt {x}$ es una función de variación acotada, pero su derivada es ilimitado.