¿Por qué se debe esta función tiene un punto crítico dentro de la esfera?

Question

Supongamos que tenemos $f: \mathbf{R}^{3} \to \mathbf{R}$ con la siguiente propiedad: $\langle \nabla f(x), x \rangle > 0$ por cada $x \in S^{2}$, es decir, el gradiente de puntos hacia el exterior, la unidad de la esfera. Se afirmó que debe haber un punto de $p$ dentro de la esfera de los bienes de $\nabla f (p) = 0$.

Esto es lo que he hecho hasta ahora: supongamos que no existe ningún punto en $B(0;1)$. Desde $f$ es real valorada y definida en el compacto $\bar{B}(0;1)$, se debe alcanzar un máximo y un mínimo. Desde $f$ no tiene puntos críticos en el interior, a continuación, estos puntos deben quedar en $S^{2}$, decir $x_{0}$ es el máximo y $y_{0}$ es el mínimo. Ahora el problema parece ser que el degradado no puede apuntar hacia el exterior en el punto mínimo, y a partir de ahí se puede derivar una contradicción. Pero no sé cómo se escribe que, el uso de la derivada direccional a lo largo de la línea que une los puntos extremos tal vez?

Answer 1

Hay un topológico argumento. Considerar el mapa

$$\sigma : S^2 \to S^2 : x \mapsto \frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}.$$

Por la condición en $f$ en la frontera, $\sigma$ es homotópica a la identidad mapa de $S^2$ (debido a que no hay una única geodésica va de$x$$\sigma(x)$). Ahora supongamos que $\|\nabla f\| \neq 0$ por cada $x \in \overline{B}(0,1)$. Considerar el mapa

$$\overline{B}(0,1) \to S^2 : x \mapsto \frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}.$$

Desde $\overline{B}(0,1)$ es contráctiles, este mapa es homotópica a una constante mapa. Pero eso es absurdo, ya que su restricción al límite de $S^2$$\sigma$, que no es homotópica a una constante mapa.

Bien, ¿eh?!

Answer 2

Usted tiene. En cada punto de $x$ de la esfera, la derivada direccional de $f$ $x$ en la dirección normal es positivo, que dice que $f$ aumenta a medida que te acercas a $x$ desde el interior de la bola. Esto significa que el mínimo global de $f$ en el cerrado de la bola no puede ocurrir en un punto límite.

Answer 3

Aquí es una prueba de que las apelaciones a la de Poincaré-Hopf teorema:

Si $M$ es un manifold con frontera y $X$ es un campo vectorial aislado con ceros a $M$ y apuntando hacia fuera en $\partial M$, luego $$\sum_{\mbox{zeroes }m_i} \operatorname{index}_{m_i}(X) = \chi(M).$$

Desde $\nabla f$ es un buen campo de vectores en la unidad cerrada de la bola y la característica de Euler de la unidad cerrada de bola es $1$, debe haber al menos un punto en el interior de $M$ que $\nabla f = 0$.