¿Cuál es la fórmula general para el cálculo de punto y productos cruzados esféricas en coordenadas?

Question

Yo estaba escribiendo una clase de C++ para trabajar con vectores 3D. He escrito operaciones en las coordenadas Cartesianas fácilmente, pero estoy atascado y muy confundido en coordenadas esféricas. Busqué en google mi pregunta, pero no podía encontrar una fórmula directa para que el vector de producto en los resultados de búsqueda.

Supongamos que tengo $ \overrightarrow{V_1} $ $ \overrightarrow{V_2} $ vectores en shperical coordenadas:

$ \overrightarrow{V_1} = r_1\hat{u_r} + \theta_1\hat{u_\theta} + \phi_1\hat{u_\phi} \\ \overrightarrow{V_2} = r_2\hat{u_r} + \theta_2\hat{u_\theta} + \phi_2\hat{u_\phi} \\ \hat{u_r}: \mbox{el vector unitario en la dirección de radio} \\ \hat{u_\theta}: \mbox{el vector unitario en la dirección del ángulo azimutal} \\ \hat{u_\phi}: \mbox{el vector unitario en la dirección del ángulo polar} $

$ \theta $ $ \phi $ ángulos son como el representado en la imagen de abajo:

¿Cuál es la fórmula general para la toma de punto y productos cruzados de estos vectores?

$ \overrightarrow{V_1} \bullet \overrightarrow{V_2} = ? \\ \overrightarrow{V_1} \times \overrightarrow{V_2} = ? $

Si necesita un ejemplo, por favor trabajar en este otro:

$ \overrightarrow{V_1} = 2\hat{u_r} + \frac{\pi}{3}\hat{u_\theta} + \frac{\pi}{4}\hat{u_\phi} \\ \overrightarrow{V_2} = 3\hat{u_r} + \frac{\pi}{6}\hat{u_\theta} + \frac{\pi}{2}\hat{u_\phi} $

Answer 1

Aquí hay dos maneras para derivar la fórmula del producto escalar. Supongo que $v_1$ $v_2$ son vectores con coordenadas esféricas $(r_1, \varphi_1, \theta_1)$$(r_2, \varphi_2, \theta_2)$.

Primera forma: Vamos a convertir estos esférica de coordenadas Cartesianas. Para el primer punto, obtener coordenadas Cartesianas $(x_1, y_1, z_1)$ como este: $$ \begin{array}{rcl} x_1 & = & r_1 \sin \varphi_1 \cos \theta_1, \\ y_1 & = & r_1 \sin \varphi_1 \sin \theta_1, \\ z_1 & = & r_1 \cos \varphi_1. \end{array} $$ Fórmulas similares presionado para $(x_2, y_2, z_2)$. Ahora, el producto escalar es simplemente igual a $$ (v_1, v_2) = x_1, x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = \\ = r_1 r_2 ( \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ( \cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + \cos \varphi_1 \cos \varphi_2) = \\ = r_1 r_2 ( \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \cos (\theta_1 - \theta_2) + \cos \varphi_1 \cos \varphi_2) $$

Segunda forma: en Realidad, podríamos haberlo hecho sin las conversiones de coordenadas. De hecho, sabemos que $(v_1, v_2) = r_1 r_2 \cos \alpha$ donde $\alpha$ es el ángulo entre el$v_1$$v_2$. Pero $\cos \alpha$ puede ser inmediatamente encontró el Esférico ley de los cosenos, que da como resultado exactamente la misma fórmula que acabamos de demostrar. Básicamente, nuestra primera forma es en sí misma una prueba de la forma esférica de la ley de los cosenos.

PS: yo no estoy diciendo nada acerca de los productos cruzados, pero mi conjetura es que la fórmula correcta tendrá un aspecto terrible. No sólo va a contener senos y cosenos, es probable que también contendrá arco funciones (que aparecerá cuando tratamos de convertir el resultado a coordenadas esféricas). A menos que los arco funciones por arte de magia cancelar con todos los senos y cosenos. Pero es altamente improbable, y no tengo ganas de ir por la molestia de comprobar.

PPS: Una cosa más. Productos cruzados no son la única cosa asustadiza acerca de coordenadas esféricas. Si usted piensa acerca de ello, incluso la adición de dos vectores es extremadamente desagradable en coordenadas esféricas. Multiplicación por un número está bien, sin embargo, porque sólo los cambios de $r$ y no afecta a $\varphi$ $\theta$ (al menos cuando se multiplica por un número positivo).

Answer 2

Desde $u_r,u_{\phi},u_{\theta}$ formas diestro ortonormales marco de la unidad de vectores de las reglas para el cómputo de los vectores en un punto de $p$ expresó en el marco de a $p$ es precisamente el mismo que para todo el mundo, constante Cartesiano marco. Por ejemplo,

$$ \vec{V}_1 \cdot \vec{V}_2 = 2(3)+\frac{\pi}{3}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\frac{\pi}{2} $$

Más generalmente, si contamos $u_1,u_2,u_3$$u_r,u_{\phi},u_{\theta}$, entonces podemos definir de punto y productos cruzados por las fórmulas usuales:

$$ u_i \cdot u_j = \delta_{ij} \qquad u_i \times u_j = \sum_k \epsilon_{ijk} u_k $$

Los vectores $u_i$ no se fija vectores, como la $e_1,e_2,e_3$ o tal vez usted prefiere $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$, $u_r,u_{\phi},u_{\theta}$ son campos vectoriales. Usted puede construir por normalizar el vector gradiente campos de la forma esférica de coordinar funciones si usted desea saber lo que sus fórmulas son explícitamente en términos de las coordenadas cartesianas marco.

$$ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \ \ \Rightarrow \ \ \nabla r = \frac{1}{r}< x,y,z> \ \ \Rightarrow \ \ u_r = \frac{1}{r}<x,y,z> $$

En vista de $x = r\cos \theta \sin \phi, y = r\sin \theta \sin \phi, z = r\cos \phi$ la forma esférica de la unidad de campo de vectores está dado por:

$$ u_r = < \cos \theta \sin \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \phi > $$

una fórmula que es totalmente sorprendente si se piensa en la unidad de la esfera y la relación geométrica entre la normal a la esfera y la dirección radial a cualquier punto de más lejos (o cerca de) el origen.

Tengo mucho más publicado en http://www.supermath.info/MultivariateCalculus2011TOCandChapter1.pdf (ver sección 1.6).

Answer 3

EDIT: esta respuesta es definido sólo si los dos vectores son definidos en el mismo punto en el espacio, porque esféricas polares de la unidad de vectores de cambio con poisition.

Así que si usted tiene un punto ($r$,$\theta$,$\phi$) el que se ha definido $\mathbf{\hat r}$, $\mathbf{\hat \theta}$ y $\mathbf{\hat \phi}$, y dos vectores salir de ese momento, entonces el producto escalar es: $$ \mathbf V \cdot \mathbf U = V_rU_r + V_\phi U_\phi + V_\theta U_\theta $$

Para el producto cruzado tomar el determinante de la matriz con los vectores unitarios y de los componentes, de la misma manera que para las coordenadas cartesianas: $$ \mathbf V \times \mathbf U = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat r}&\mathbf{\hat \phi}& \mathbf{\hat \theta}\\ V_r &V_\phi &V_\theta\\ U_r & U_\phi & U_\theta \end{vmatrix} $$

Por ejemplo $$\mathbf{\hat r} \times \mathbf{\hat \phi} = \begin{vmatrix} \hat r &\hat \phi& \hat \theta\\ 1 &0 &0\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat \theta $$

Answer 4

Me refiero a usted (y a los nuevos lectores) Introducción a la Electrodinámica por D. J. Griffiths, tercera edición, página 39.

Answer 5

En coordenadas esféricas:

$$ X_1 \cdot X_2 = r_1r_2\left(\cos(\theta_1)\cos(\theta_2) + \cos(\phi_1-\phi_2)\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\right)$$

$$X_1 \times X_2=r_1r_2\begin{pmatrix} \sin(\theta_1)\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)-\cos(\phi_1)\sin(\phi_2)\sin(\theta_2)\\ \left(\sin(\theta_2)-\sin(\theta_1)\right)\cos(\phi_1)\cos(\phi_2)\\ \sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\sin(\phi_2-\phi_1)\end{pmatrix}$$