¿dónde exponenciales y logarítmicas funciones se cruzan?

Question

Si $0<a<1$, a continuación, los gráficos de $y=a^x$ $y=\log_a(x)$ se cruzan en algún punto de $(t(a),t(a))$. Hace esta función $t(a)$ tiene alguna bonita expresión? ¿Cuánto sabemos acerca de esta función, salvo que lo que está en claro aumento y se mantiene entre los $0$$1$? Es una pregunta muy natural, así que supongo que la gente pensaba acerca de ello antes de.

EDIT: ¿por qué creo que es una pregunta natural? Cuando enseñamos a los estudiantes de cálculo, una forma de introducir el $\log_a(x)$ función es la inversa de a $a^x=e^{x \ln a}$. Y el dibujo de las gráficas de $a^x$ $\log_a(x)$ $0<a<1$ en un sistema de coordenadas tira de la atención a su punto de intersección de inmediato.

EDIT 2: Gracias a lhf y Wolfram Alpha, el gráfico de $a^x=\log_a(x)$ $x,a$ $0$ $1$ puede ser visto aquí.

Demuestra que, para $a<t(e^{-1})=e^{-e}\approx 0.065988$, tenemos TRES puntos de intersección de los gráficos de $a^x$ $\log_ax$ (véase el ejemplo de $a=0.03$ aquí). En $a=e^{-e}$, los dos gráficos son tangentes entre sí (ver aquí).

Sin embargo, uno de los puntos de intersección puede ser visto como la "rama principal", que he denotado $t(a)$ por encima. Parece que tiene un punto de inflexión en $a=e^{-1}\approx 0.367879$.

EDIT 3: Curiosamente, los gráficos de $a^x$ $\log_a(x)$ sí se cruzan para algunos valores de $a>1$, es decir, si $1<a<e^{1/e}\approx 1.44467$: ejemplo de $a=1.3$.

Answer 1

Bueno, esto resultó ser una tarea fácil. Desde $a^x$ $\log_a(x)$ son inversos el uno al otro, su punto de intersección (si) se encuentra en la línea de $y=x$, por lo que, en particular, que el valor de $x=t(a)$ va a satisfacer $x=a^x$. Por lo tanto, $a=x^{1/x}$, e $t(a)$ es la inversa de esta función en $[0,1]$. La función de $y=x^{1/x}$ (véase el gráfico aquí) tiene valor máximo $e^{1/e}$$x=e$, que se aproxima a $1$ desde arriba como $x\to\infty$. Por lo tanto las funciones de $a^x$ $\log_a(x)$ tienen dos puntos de intersección al $1<a<e^{1/e}$, se tocan en $x=a$ si $a=e^{1/e}$, y no tienen puntos de intersección si $a>e^{1/e}$.

Una "forma cerrada fórmula" por $t(a)$ puede ser obtenida a través de Lambert $W$ función de: Desde $x=a^x$, uno tiene: $$1=x/a^x=x\cdot e^{-x \ln a},$$ and $$-\ln a= -x \ln a \cdot e^{-x \ln a},$$which means that $$W(-\ln a)=-x\ln a,$$ so that $$x=\dfrac{W(-\ln a)}{-\ln a}.$$

Una gráfica de esta función se muestra que en efecto, parece que la inversa de a $a=x^{1/x}$ $[0,1]$ (véase el gráfico en la EDICIÓN de la 2 parte).

Otra pregunta sigue siendo: ¿cuál es la fórmula para los dos "no principales" puntos de intersección al $0<a<e^{-e}$?