Encontrar el doble de la raíz de $x^5-x+\alpha$

Question

Dado el polinomio $$x^5-x+\alpha$$ Encontrar un valor de $\alpha>0$ por los cuales el polinomio tiene una doble raíz.

He aquí una película de dibujos animados de la trama de las raíces a medida que cambie $\alpha$ $0$ $1$estoy buscando $\alpha$ cuando los 2 puntos de la trama cumplir.

Además, esto no es tarea

Answer 1

Un múltiplo de la raíz es una raíz común de ambos $f(x)$$f^{\prime}(x)$. $$f^{\prime}(x)=5x^4-1$$

y si usted está interesado sólo en bienes raíces (me da la impresión de que es usted)

a continuación, $$x=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$$

y además se debe tener

$$f\left(\frac{1}{\sqrt[4]{5}}\right)=0$$ esto le da

$$\alpha=\frac{4}{5\sqrt[4]{5}}$$

Answer 2

Alguien publicó una sugerencia de respuesta que hizo que la solución fácil, pero rápidamente eliminado. He aquí una solución con la que responder.

Cuando el discriminante de un polinomio es cero, al menos dos raíces coinciden.

El discriminante de $x^5-x+\alpha$ $3125\alpha^4-256$ ∆ $\alpha$

$$3125\alpha^4-256=0$$ $$3125\alpha^4=256$$ $$\alpha^4=\frac{256}{3125}$$ $$\alpha=\frac{4}{\sqrt[4]{3125}}$$ $$\alpha=\frac{4}{5\sqrt[4]{5}}$$

Answer 3

Si usted escribe un polinomio $p(x)=(x-r_1)^{n_1}\ldots (x-r_k)^{n_k}$ donde suponemos que cada una de las $r_i\ne r_j$ al$i\ne j$$n_i\ge 1$$1\le i\le k$.

Entonces si tomamos derivados, el producto de la regla nos da

$$p'(x)=\sum_{i=1}^k n_i(x-r_i)^{n_i-1}\prod_{i\ne j}(x-r_j)^{n_j}$$

Si $n_m=1$ algunos $1\le m\le k$, entonces tenemos que $(x-r_m)$ se divide cada término, excepto uno, por lo tanto, por las reglas de la divisibilidad, que no se puede dividir la suma, por lo tanto la derivada no comparten esta raíz en particular. Por otro lado, si $n_m>1$, $(x-r_m)$ se divide cada término de la suma, de ahí que los dos comparten esa raíz.

Así que las raíces comunes de $p(x)$ $p'(x)$ son exactamente las múltiples raíces de $p$.

Como Pedro notas, para este caso, esto implica que

$$(x^5-x+\alpha, 5x^4-1)=(5x^4-1, 4x-5\alpha)=(4x-5\alpha, {3125\over 256}\alpha^4-1)$$

por lo $\alpha^4={256\over 3125}$.

Answer 4

Como Daniel señaló, desde $p(x)$ tendrá una doble raíz, $p'(x)$ debe tener la misma raíz.

También, mediante el uso de Descartes reglas de los signos,

$$p(x) = x^5 -x +\alpha$$ $$p(-x) = -x^5 +x +\alpha$$

Por lo tanto, p(x) tiene 2 o 0 positivo raíces, 1 negativo de la raíz, y 2 o 4 complejos de raíz.

Ya que se supone que hay un positivo de la raíz, $p(x)$ tienen 2 positivo raíces, 1 negativo de la raíz, y 2 raíces complejas.

Tomando la derivada,

$$p'(x) = 5x^4-1$$

Resolviendo para x, obtenemos que $$x =\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{4}}$$