¿Cómo puedo encontrar el valor límite de una EDP dependiente del tiempo?

Question

He conseguido reducir una pregunta de probabilidad a la siguiente EDP de aspecto sencillo: $$ u_t = -t u_x + \frac{1}{2} u_{xx}, {\rm ~for~} x>0, \, t \in \mathbb{R} \;, $$ con una condición inicial límite: $$ u(x,t) \to 1, {\rm ~as~} t \to -\infty \;, $$ una condición de contorno en $x=0$ : $$ u_x(0,t) = \left\{ \begin{array}{lc} -2 a t u(0,t) \;, & t \le 0 \\ 0 \;, & t \ge 0 \end{array} \right. \;, $$ donde $a > 0$ es una constante, y una condición de contorno adecuada como $x \to \infty$ : o $u \to 1$ o $u$ está acotado.

Todo lo que quiero es una expresión exacta para $p = \lim_{t \to \infty} u(0,t)$ que representa la probabilidad particular que estoy buscando, pero no sé cómo hacer esto o si es posible. Espero que haya algún tipo de método por ahí que no conozco para derivar $p$ sin tener que resolver todo el problema de valores límite. ¿Alguna idea?

Algunos comentarios:

1) Lo he resuelto numéricamente (con diferencias finitas) y $u(x,t)$ se ve bien y suave y sólo toma valores entre 0 y 1.

2) No espero que la naturaleza de la condición de contorno en $x=0$ para ser un problema importante. Es de suponer que podemos resolver hasta $t=0$ , hacer una pausa, y luego resolver para $t>0$ . Para $t \le 0$ La condición de contorno es una condición de contorno Robin dependiente del tiempo, que nunca he visto tratada antes.

3) A mí me parece que el mayor problema es la dependencia temporal explícita en la EDP y la condición de contorno en $x=0$ . Puedo eliminar la dependencia del tiempo en la EDP definiendo $$ v(x,t) = {\rm e}^{\frac{1}{6} t^3 - t x} u(x,t) \;, $$ que da $$ v_t = -x v + \frac{1}{2} v_{xx} \;, $$ $$ v_x(0,t) = \left\{ \begin{array}{lc} -(1+2a)tv(0,t) \;, & t \le 0 \\ -tv(0,t) \;, & t \ge 0 \end{array} \right. \;. $$

4) Para el problema de valor límite en $v$ No consigo que funcione la separación de variables, ni las transformadas de Laplace en el tiempo, ni algún tipo de media transformada de Fourier en el espacio.

5) Por cierto, $\lim_{t \to \infty} u(x,t)$ debe ser independiente de $x$ Es decir, en el sentido de los puntos, $u(x,t)$ se acerca al valor constante $p$ .

Answer 1

Una pista:

Dejemos que $\begin{cases}v=x-\dfrac{t^2}{2}\\w=t\end{cases}$ ,

Entonces $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial w}\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial v}$

$\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)=\dfrac{\partial}{\partial v}\left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial}{\partial w}\left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial^2u}{\partial v^2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial u}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial t}+\dfrac{\partial u}{\partial w}\dfrac{\partial w}{\partial t}=-t\dfrac{\partial u}{\partial v}+\dfrac{\partial u}{\partial w}$

$\therefore-t\dfrac{\partial u}{\partial v}+\dfrac{\partial u}{\partial w}=-t\dfrac{\partial u}{\partial v}+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2u}{\partial v^2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial w}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2u}{\partial v^2}$

Dejemos que $u(v,w)=V(v)W(w)$ ,

Entonces $V(v)W'(w)=\dfrac{1}{2}V''(v)W(w)$

$\dfrac{2W'(w)}{W(w)}=\dfrac{V''(v)}{V(v)}=s^2$

$\begin{cases}\dfrac{W'(w)}{W(w)}=\dfrac{s^2}{2}\\V''(v)-s^2V(v)=0\end{cases}$

$\begin{cases}W(w)=c_3(s)e^{\frac{ws^2}{2}}\\V(v)=\begin{cases}c_1(s)e^{vs}+c_2(s)e^{-vs}&\text{when}~s\neq0\\c_1v+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(v,w)=\int_{-\infty}^\infty C_1(s)e^{\frac{ws^2}{2}+vs}~ds+\int_{-\infty}^\infty C_2(s)e^{\frac{ws^2}{2}-vs}~ds$

$u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty C_1(s)e^{\frac{ts^2}{2}+\left(x-\frac{t^2}{2}\right)s}~ds+\int_{-\infty}^\infty C_2(s)e^{\frac{ts^2}{2}-\left(x-\frac{t^2}{2}\right)s}~ds$

$u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty C_1(s)e^{\frac{t}{2}\left(s^2+\left(\frac{2x}{t}-t\right)s\right)}~ds+\int_{-\infty}^\infty C_2(s)e^{\frac{t}{2}\left(s^2-\left(\frac{2x}{t}-t\right)s\right)}~ds$

$u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty C_1(s)e^{\frac{t}{2}\left(s^2+\left(\frac{2x}{t}-t\right)s+\left(\frac{x}{t}-\frac{t}{2}\right)^2-\left(\frac{x}{t}-\frac{t}{2}\right)^2\right)}~ds+\int_{-\infty}^\infty C_2(s)e^{\frac{t}{2}\left(s^2-\left(\frac{2x}{t}-t\right)s+\left(\frac{x}{t}-\frac{t}{2}\right)^2-\left(\frac{x}{t}-\frac{t}{2}\right)^2\right)}~ds$

$u(x,t)=e^{-\frac{t}{2}\left(\frac{x}{t}-\frac{t}{2}\right)^2}\int_{-\infty}^\infty C_1(s)e^{\frac{t}{2}\left(s+\frac{x}{t}-\frac{t}{2}\right)^2}~ds+e^{-\frac{t}{2}\left(\frac{x}{t}-\frac{t}{2}\right)^2}\int_{-\infty}^\infty C_2(s)e^{\frac{t}{2}\left(s-\frac{x}{t}+\frac{t}{2}\right)^2}~ds$