Existe una notación para decir que $x_n\geq c$ a partir de algunos $n$?

Question

Estoy buscando algo como $\lim\inf x_n \geq c$, pero necesito que desde algún punto y en el es $\geq c$, no solo que el límite es de $\geq c$.

Answer 1

Puede utilizar la palabra , finalmente, para describir esta situación; por ejemplo, se puede decir que la secuencia de $\{a_n\}_n$ es el tiempo acotado abajo por $c$.

Answer 2

Como @notas de usuario, el término habitual para esta noción es "eventualmente" (introducida o de todos modos popularizado por Kelley en su libro de Topología General). Es un cuantificador, a veces escrito $\forall^*$. Para cualquier predicado $P(n)$ de los enteros, $P(n)$ mantiene con el tiempo (con respecto a $n$) iff $(\forall^* n)\, P(n) := (\exists N)(\forall n\ge N)\, P(n)$.

Si necesita utilizar la noción de una gran cantidad, usted podría hacer una notación, tales como $$ (x_n)_{n\in\Bbb N} \le^* (y_n)_{n\in\Bbb, N} := (\forall^* n\in \Bbb N)\, x_n \le y_n. $$ con el entendimiento de que un real $c$ utiliza como una secuencia, como en $(y_n)\, ^*{\ge}\, c$, representa la constante-$c$ de la secuencia. Tenga en cuenta que $\le^*$ es un preorden - es reflexiva y transitiva.

Como un aparte, la doble noción de "tiempo" es "con frecuencia" (de nuevo, Kelley plazo): $P(n)$ sostiene con frecuencia (w.r.t. $n$) significa $(\forall N)(\exists n\ge N)\,P(n)$. Sobre los números enteros, que es equivalente a "$P(n)$ tiene infinitamente a menudo". Si escribimos $\exists^*$ "frecuentemente", entonces estos dos cuantificadores obedecer las conocidas reglas: $\forall^* = \lnot \exists^*\lnot$$\exists^* = \lnot \forall^*\lnot$, como se comprueba fácilmente: $$\begin{align} \lnot (\exists^* n)\lnot P(n)&\iff \lnot (\forall N)(\exists n\ge N)\lnot P(n) \\ &\iff (\exists N)(\forall n\ge N)\lnot\lnot P(n) \\ &\iff (\forall^* n) P(n). \\ \end{align}$$

Answer 3

Tal vez usted está buscando una notación como $$\forall \, n \ge N_0 : x_n \ge c$$ donde $\forall$ significa "para todos" e $N_0$ es la "algún punto y en la" elegida por usted.

Answer 4

Creo que he visto cosas como "$x_n \ge c$ todos los $n \gg 1$", pero el uso de las palabras es, sin duda más clara.

Answer 5

La frase "para todos lo suficientemente grande $n$" también funciona. Si quieres más detalle (no es necesario en mi opinión) se puede decir que existe $N$ tal que $x_n\ge c$ todos los $n\ge N$.