Encontrar el determinante de las siguientes;

Question

Encontrar el determinante de la siguiente matriz, y para la cual el valor de $x$ es invertible; $$\begin{pmatrix} x & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & x & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & x \end{pmatrix}$$

Ahora yo no sé realmente cómo procees como puedo conseguir encontrar una adecuada fila de operaciones a fin de simplificar el proceso, así que pensé que sería en los casos, tal vez ver un patrón.

2x2

$\begin{bmatrix}x & 1\\1 & x\end{bmatrix}$
Esto ha determinante; $x^2-1$

3x3
$\begin{bmatrix}x & 1 & 0\\0 & x & 1\\1 & 0 & x\end{bmatrix}$
Esto ha determinante $x^3+1$

Así es que el patrón? determinante es $x^n-1$ si n es par,
determinante es $x^n+1$ si n es impar??

Answer 1

Desarrollar el determinante por la primera columna...

$$\begin{vmatrix}\color{red}x&1&0&0&\ldots&0\\ \color{red}0&x&1&0&\ldots&0\\ \color{red}\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \color{red}1&0&0&0&\ldots&x\end{vmatrix}=$$$${}$$

$$x\begin{vmatrix}x&1&0&0&\ldots&0\\ 0&x&1&0&\ldots&0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&0&0&\ldots&x\end{vmatrix}+(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}1&0&0&0&\ldots&0\\ x&1&0&0&\ldots&0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&0&\ldots&x&1\end{vmatrix}$$

Ahora compruebe que ambos factores determinantes de arriba son matrices triangulares, por lo que pedazo de pastel...

Answer 2

Calcular el determinante de su matriz utilizando el último raw de expansión, yo.e, $$ \det(A)=(-1)^{n+1}+(-1)^{n+n}xx^{n-1}=x^n+(-1)^{n+1}. $$

Esto es exactamente lo que supongo. Si $n$ impar, a continuación, $\det(A)=x^n+1$ e si $n$, incluso, a continuación,$\det(A)=x^n-1$.

Answer 3

Para $x=0$, la matriz es la matriz de permutación para el ciclo de $(1,2,\dots,n)$.

Por lo tanto, $A^n=I$, la matriz de identidad, y las primeras columnas de a $A^k$ $k=0,\dots, n-1$ son los vectores de la base estándar y claramente linealmente independientes.

Por lo tanto, $\lambda^n-1$ es el mínimo polinomio y debido a su grado de $n$ el polinomio característico $\chi_A$$A$.

Su determinante es sólo $(-1)^n \chi_A(-x)=x^n-(-1)^n$.

Answer 4

He intentado utilizar la Matriz de la Calculadora para comprobar el patrón que usted ha mencionado. Para cualquier valor aleatorio de x, parece que su patrón es sin duda correcta.

Answer 5

Es fácil resolver este problema con la fórmula de laplace.
En primer lugar, se eligió la primera fila de laplace de la fórmula y se obtiene el siguiente
(Yo dibujar $3\times 3$ matices en lugar de $(n-1)\times (n-1)$, porque no sé cómo dibujar claramente arbitrarias $n$):
$$x\cdot\begin{bmatrix}x & 1 & 0\\0 & x & 1\\0 & 0 & x\end{bmatrix}+(-1)^{n-1}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\x & 1 & 0\\0 & x & 1\end{bmatrix}=x\cdot x^{n-1}+(-1)^{n-1}=x^n+(-1)^{n-1}$$