Qué $\varphi(1)=1$ si $\varphi$ es un campo homomorphism?

Question

Es, por definición, que $\varphi(1)=1$ si $\varphi$ es un campo homomorphism ?

Mi campo de la teoría de la conferencia dijo que sí, pero ahora $\varphi\equiv0$ no es un campo de homomorphism...

¿Qué es el 'estándar' en matemáticas ? (es decir, si alguien dice que $\varphi$ es un campo homomorphism implica $\varphi(1)=1$ ?)

Answer 1

Bajo petición, estoy saliendo de una respuesta.

En primer lugar, vamos a reconocer que esta es una pregunta acerca de los convenios de la primera y sólo en segundo lugar de las matemáticas. Su profesor de la definición de un campo homomorphism es lo que ella dice es: que es lo que una definición de medios. ("Cuando yo uso una palabra, significa sólo lo que yo quiero que signifique-ni más ni menos." -- Humpty Dumpty) Por otro lado, las definiciones, si bien, en sentido formal arbitraria, sin duda puede ser bueno o malo, tanto para los matemáticos y razones sociológicas.

Su profesor de la definición es buena tanto por su matemáticos consecuencias y porque, como ella decía, esto es mucho más que el "estándar" de la definición, es decir, la que va a encontrar en la gran mayoría de los textos contemporáneos y cursos, el que está siendo utilizado por los profesionales tanto en el campo de la teoría misma y en las áreas de matemáticas, donde la teoría del campo aplicado, y así sucesivamente.

La noción de "homomorphism" es tan importante en las matemáticas que ha habido una gran cantidad de esfuerzo para que sea lo más sistemática y "la onu(ad hoc)" como sea posible. Dos marcos generales para la discusión de homomorphisms se álgebra universal y de la categoría de teoría. Los objetos básicos de estudio en álgebra universal son estructuras relacionales, es decir, conjuntos equipadas con diversas relaciones (y, lo que es un caso especial de que, en las funciones), de varios "arities".

Desde esta perspectiva, la estructura relacional de un anillo es un conjunto a $R$, dos operaciones binarias llama $+$ $\cdot$ y dos "nullary funciones" -- es decir, las constantes de $0$$1$. Hay más a la definición de un anillo, es decir, los axiomas que estas relaciones deben satisfacer. En este sentido, el modelo de la teoría se está superpuesto en la parte superior de álgebra universal. Sin embargo, la definición de un homomorphism de estructuras relacionales no depende de los axiomas: un homomorphism de estructuras relacionales es sólo un mapa de la subyacente se establece que conserva, en un lugar sencillo sentido de que no voy a escribir por completo aquí (uno puede fácilmente buscar en línea) todas las relaciones. En el caso de los anillos, esto significa que un homomorphism $f: R \rightarrow S$ es un mapa de la base de conjuntos tales que

$\bullet$ Para todos los $x,y \in R$, $f(x+y) = f(x) + f(y)$,
$\bullet$ Para todos los $x,y \in R$, $f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$,
$\bullet$ $f(0) =0$, y
$\bullet$ $f(1) = 1$.

De nuevo, insisto en que esto no depende de los axiomas (o, en más del modelo de la teoría de la terminología, la teoría, de la estructura): un homomorphism de no asociativo de los anillos (con distinguidos elementos $0$$1$) es la definición de la misma como un homomorphism no necesariamente conmutativo anillos, que es la definición de la misma como un homomorphism de campos. Esta uniformidad es útil y potente.

Ahora vamos a $f: R \rightarrow S$ ser un homomorphism de los anillos. Un elemento $x \in R$ es una unidad si existe $y \in R$ tal que $xy = yx = 1$. Dos hechos:

(i) Para todos los $x \in R$, hay un $y \in R$ tal que $xy = yx = 1$.
(Prueba: Si también se $xz = zx = 1$,$y = y \cdot 1 = y(xz) = (yx)z = 1 \cdot z = z$.)

Por lo tanto si $x$ es una unidad, que tiene una bien definida inversa que podemos denotar $x^{-1}$. Sin embargo, $x \mapsto x^{-1}$ no es un completamente kosher función desde la perspectiva de álgebra universal, ya que no es una función en $R$, pero sólo en $R^{\times}$, el conjunto de unidades de $R$. Hay maneras de conseguir alrededor de este (una palabra clave es de tipo), pero la solución más fácil es simplemente no considerar a $x \mapsto x^{-1}$ está siendo parte de la estructura relacional de la definición de un anillo conmutativo.

(ii) Si $f: R \rightarrow S$ es un homomorphism de los anillos y $x \in R^{\times}$,$f(x) \in S^{\times}$$f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$.
(Prueba: $f(x^{-1}) f(x) = f(x^{-1} x) = f(1) = 1 = f(1) = f(x x^{-1}) = f(x) f(x^{-1})$.)

Así, la preservación de la recíproca sale gratis a partir de esta definición de anillo homomorphisms.

También existe la categoría de perspectiva, que es más general y por lo tanto más permisivo. Tiene la brillante idea de que, en el mismo aliento como definimos un objeto matemático de un cierto tipo ("categoría"!), debemos definir la noción de homomorphism entre los objetos de esa categoría. Con el fin de ser un homomorphism, algunas muy leves axiomas de la composición y de las identidades deben ser satisfechos. Así, en particular, hay una categoría $\operatorname{Ring}$ en el cual los objetos son los anillos y los morfismos se define exactamente como el anterior. Pero también existe una categoría $\operatorname{Rng}$ en el que los objetos son "generadores de números aleatorios", es decir, lo que se obtiene tomando la constante $1$ fuera de la estructura relacional y de tomar todas las partes de los axiomas para los anillos que se refieren a ella. E incluso existe la categoría llamándola $\operatorname{Ring}'$ - en el que los objetos son anillos, es decir, tienen $1$ -, pero en el que homomorphisms no están obligados a llevar a $1$$1$. En particular, para cualquier anillos de $R$$S$, idéntica a cero mapa de $R$ $S$es un homomorphism en $\operatorname{Ring}'$, pero no en $\operatorname{Ring}$ (salvo en el caso trivial donde$0 = 1$$S$).

Vale la pena gastar un poco de tiempo conseguir experiencia con la categoría de $\operatorname{Ring}'$, debido a que (i) no es simplemente una patología: este tipo de mapas entre los anillos de hacer llegar, a veces, y (ii) que proporciona información acerca de la mucho más de categoría estándar $\operatorname{Ring}$. En particular, para un homomorphism $f: R \rightarrow S$ en $\operatorname{Ring}'$ $f(1)$ no puede ser cualquier elemento de $S$, pero debe ser un elemento idempotente:

$f(1) = f(1 \cdot 1) = f(1) \cdot f(1)$.

Muchos anillos tienen sólo $0$ $1$ idempotents -- en particular, esto es para los campos -- así que o $f(1) = 1$, en cuyo caso estamos de vuelta para el caso estándar, o $f(1) = 0$, y en este caso para todos $x \in R$, $f(x) = f(x \cdot 1) = f(x) \cdot f(1) = f(x) \cdot 0 = 0$, por lo $f$ es idéntica a cero.

Así que ahora sabemos exactamente lo que estamos excluyendo mediante la definición de un homomorphism de campos para satisfacer $f(1) = 1$: estamos excluyendo la idénticamente cero mapa entre los campos. Por lo que podemos estar bastante seguros de que no estamos excluyendo cualquier cosa importante: sin duda el cero mapa no es interesante por derecho propio, así como el elemento de identidad de un grupo o cero elemento de un anillo no es muy interesante en su propio derecho. Sin embargo, el elemento de identidad de un grupo y cero elemento de un anillo están allí por otra razón muy importante: que permiten la adecuada estructura algebraica de grupo o anillo de existir!

En contraste, si $R$ $S$ son anillos, entonces no veo intrínseca de la estructura algebraica del conjunto de homomorphisms de$R$$S$: no podemos agregarlos, multiplicar (así como para obtener otro homomorphism de$R$$S$) y así sucesivamente. Por lo que añadir el elemento cero no nos está ayudando en cualquier manera evidente. De hecho, si no creemos esto, en primer lugar, no importa -- mantener y ver qué pasa. Vamos a buscar que en nuestro estudio más de la teoría de campo, vamos a seguir teniendo a decir "excepto para el cero homomorphism" en los resultados y argumentos. Por ejemplo, la mayoría de la teoría de campo se basa en el hecho de que absolutamente todos los campos homomorphism $\iota: E \rightarrow F$ es inyectiva y hace $F$ a una $E$-espacio vectorial...excepto el cero homomorphism.