¿Por qué son de mayor grado del polinomio ecuaciones más difícil de resolver?

Question

Estoy confundido acerca de la importancia de las competencias en las ecuaciones. Por ejemplo, en $ax = b$, intuitivamente $b$ es un valor de $x$ multiplica $a$ veces. En $ax + b = c$, $c$ es el valor de $x$ multiplica $a$ veces agregado a por $b$. En $ax^2 + bx + c = d$, $d$ es el valor de $x$ es multiplicado por sí mismo y por otro el valor de $a$ adicionado por el valor de $x$ multiplicado por un valor de $b$ y que sumado a otro valor $c$. Este y así sucesivamente.

Incluso en la simple ecuación $x^2 = y$, $x$ es intuitivamente $\sqrt{y}$ y así sucesivamente para los poderes arbitrarios y raíces. Para la ecuación $x + x = y$, $x$ se coloca doblemente y $y$ es igual a la que se duplicó x, por lo que $x$ $y$ la mitad. Pero cuando un caso particular como $x^2 + x = y$ surge y así sucesivamente con todos los pedidos y los polinomios de esas órdenes ("orden superior ecuaciones"), no puede ser resuelto tan fácilmente y todo el proceso comienza a parecer mucho más extranjeros y artificial.

¿Por qué estoy no es capaz de resolver intuitivamente de la incógnita en una ecuación cuando un exponente mayor que uno, se utiliza? ¿Por qué no la perfecta inversión de las operaciones para resolver extender a las de orden superior ecuaciones?

Answer 1

Creo que la diferencia está recogiendo tiene que ver con la estructura de la ecuación en sí. En algunas de las ecuaciones, se desconoce el valor de $x$ es actuó en la serie a través de una secuencia de operaciones anidadas; la resolución de la ecuación equivale a "distraerse" esas operaciones una por una. Por ejemplo, $\frac{(3x+5)^2-19}{2}=10$ puede ser pensado como "tomar $x$, triple, agregar $5$, plaza el resultado, reste $19$, y dividir por $2$; el resultado es de $10 dólares. Puede este diagrama como una serie de funciones como:

Así, para resolver, de invertir los pasos: Iniciar con $10$, lo multiplicamos por $2$, agregar $19$, tomar la raíz cuadrada, restar $5$, dividir por $3$.

Pero en las otras ecuaciones, incluso bastante simple, tiene un tipo diferente de estructura. Por ejemplo, $x^2+5x=10$ se parece a esto:

Aviso de que esta estructura se resiste a cualquier intento de resolver "distraerse", precisamente a causa de la horquilla en el diagrama. La $x$ fluye a través de más de una ruta, lo que hace imposible determinar el resultado hacia atrás a su origen.

Algunas de las ecuaciones que se presentan en una forma que al principio parece tener múltiples rutas de acceso (por ejemplo, $3x + 5x = 16$) pero podemos reorganizar para una sola ruta de acceso de la estructura (por ejemplo, a través de la propiedad distributiva / combinar términos semejantes). Pero de mayor grado del polinomio ecuaciones suelen tener términos que no se pueden combinar, y esto es lo que los hace resistentes a la clase de solución intuitiva que usted está preguntando acerca de.

Actualización: En los comentarios de abajo, el OP pregunta:

Esto tiene sentido, pero entonces, ¿cómo son soluciones generales de orden superior ecuaciones como la fórmula cuadrática derivados algebraicamente/simbólicamente? Estoy familiarizado con la prueba geométrica completando el cuadrado, pero no de orden superior ecuaciones de repente requieren la perspectiva de la geometría para resolver? O es que hay un puro/directa derivación algebraica que se puede pensar que se extienden desde la base de "desenrollar" o similares?

A pesar de completar el cuadrado es históricamente geométricas en origen, que puede ser entendido desde un punto de vista algebraico forma como un método de la reestructuración de una función de manera que tiene una "serie" de la estructura, lo que le permite ser resuelto a través de la anulación. Tomemos el ejemplo de $x^2+5x=10$, ya diagramado por encima. En la finalización de la plaza, primero debe agregar $(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$ a ambos lados de la ecuación, obteniendo $x^2 + 5x + \frac{25}{4} = \frac{65}{4}$. Luego de reconocer el lado izquierdo como un cuadrado perfecto, trinomio, de manera que la ecuación puede ser escrito $(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{65}{4}$. Esta ecuación, si representados esquemáticamente, habría una simple serie de la estructura: Inicio con $x$, agregar $\frac{5}{2}$, cuadrado, y terminar con $\frac{65}{4}$. Puede, entonces, ser resuelto por desenrollado: comienza con $\frac{65}{4}$, tomar la raíz cuadrada(s) (teniendo en cuenta que hay dos raíces cuadradas, uno positivo y uno negativo), y restar $\frac{5}{2}$.

Por supuesto, este no es el único método que puede ser utilizado para hacer frente a cuadráticas. Considerar la ligeramente diferente ejemplo de $x^2 + 5x = 24$. Si nos reorganizar esta como $x^2 + 5x - 24 = 0$ y el factor de la LHS, nos dan $(x-3)(x+8)=0$. Esta ecuación se puede esquematizarse de la siguiente manera:

A primera vista esto parece ser mejor que la de la ecuación original; tiene un tenedor, y parece resistente a la corrección. Pero! No es esta propiedad de los números reales, la "propiedad del producto cero", que dice que si dos números se multiplican a ser cero, entonces uno de ellos debe ser cero. Y que permite dividir el diagrama en dos esquemática de los casos:

Y cada una de ellas puede ser abordado a través de una sencilla extensión método.

En resumen, la mayoría de las técnicas que se enseñan (al menos en el nivel de secundaria) para resolver ecuaciones polinómicas puede ser entendido como "métodos para la re-estructuración de las ecuaciones para que el desenrollado de las técnicas pueden ser empleadas". (Yo no estoy diciendo que se enseña en esos términos, o que debería ser, sino simplemente que no puede ser pensado de esa manera.)

Por desgracia, esto sólo te lleva lejos. Una vez que llegue al 5to grado de los polinomios, es un famoso resultado de que puede haber soluciones que no puede ser expresado por una combinación de la "simple" de las operaciones (ver aquí). Eso significa, entre otras cosas, que no hay manera de reestructurar general de 5to grado del polinomio para lograr una solución a través de desenrollado técnicas.

Answer 2

Aquí es cómo yo lo veo. Las ecuaciones que involucran sólo la multiplicación son fáciles de resolver, por ejemplo $a$b^{18}x^{20012} = a^{42},$$ y de manera similar a las ecuaciones que involucran sólo, además son fáciles de resolver. La multiplicación y la adición de números reales, tomados individualmente, tienen un montón de estructura, y esta estructura ayuda con los cálculos.

Por desgracia, la única cosa de la conexión de la multiplicación y la adición de números reales es el más débil distributiva de la ley, y las consecuencias de este acoplamiento débil se sentía en muchas áreas de las matemáticas, cuando veas los problemas que involucran la suma y la multiplicación de actuar en concierto. En adición a la resolución de ecuaciones algebraicas, algunos ejemplos son:

• La infinitud de los números primos de la forma $x^2+1$. Buscando en las tablas de números, es evidente que existen infinitos números primos de esta forma, y de hecho es casi seguro que mucho más fuertes resultados son verdaderas. Pero en la actualidad no tienen ninguna idea de cómo combatir este problema para encontrar una prueba de -- la dificultad, de nuevo, es que los números primos son puramente multiplicativo concepto, mientras que $x^2+1$ mezclas en alguna adición.

• Otras famosas conjeturas que involucran los números primos, como el de Goldbach y Twin Primer conjeturas, de nuevo involucrar a la mezcla con la adición de los números primos.

• La Conjetura De Collatz. Considere la posibilidad de la recurrencia $$f(n) = \begin{casos}n/2 y n\equiv 0 \mod 2\\3n+1, y n\equiv 1 \mod 2.\end{casos}$$ Hace varias ocasiones la aplicación de $f$ en un entero siempre, finalmente, llegar a $1$? Probablemente, pero nadie lo sabe con certeza. De nuevo, observe la conspicua de la mezcla de la suma y la multiplicación en la recurrencia.

A lo largo de muchos años, hemos desarrollado una sólida comprensión de cómo lidiar con ecuaciones lineales, y poco a poco, también estamos construyendo una teoría completa de la cuadrática y un mayor orden de las formas. Tal vez, algún día, vamos a ver toda la imagen con claridad.

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EDIT: he Aquí a lo que me refiero débil. La estructura de los números enteros está totalmente determinado por la multiplicación y la adición de tablas; estas tablas tienen que satisfacer ciertos axiomas tales como la asociatividad de la adición y la multiplicación, conmutatividad, distributividad, etc, colectivamente llamado el anillo de axiomas (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_axioms#Definition).

Digamos que mantener la tabla de multiplicar, pero a olvidar completamente de la adición de la tabla. Cuánto de la tabla podemos reconstruir, a sabiendas de que sólo la tabla de multiplicar, y el anillo de los axiomas? Aviso de que nuestra arma principal aquí es la ley distributiva, ya que es el único axioma que las parejas de multiplicación y suma. Si la ley distributiva eran muy fuertes, la estructura de la tabla de multiplicación completamente de determinar la adición de la tabla. Pero resulta que este no es el caso, por ejemplo, aquí es un no-estándar, además de la tabla

$$\begin{array}{c|cccccc} + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & 3 & 17 & 7 & 11 & 6 & 13\\ 2 & 17 & 6 & 19 & 34 & 23 & 14\\ 3 & 7 & 19 & 9 & 29 & 13 & 51\\ 4 & 11 & 34 & 29 & 12 & 31 & 38\\ 5 & 6 & 23 & 13 & 31 & 15 & 37\\ 6 & 13 & 14 & 51 & 38 & 37 & 18 \end{array}$$ y se puede comprobar que obedece el anillo de axiomas: por ejemplo, " $2\cdot(3+1) = 14 = 2\cdot 3 + 2\cdot 1$ y $(2+2)\cdot 3 = 18 = 2\cdot 3+2\cdot 3.$

De hecho, usted puede construir muchos de estos "no estándar", además de las tablas, y es un buen ejercicio para trabajar 1) ¿cómo he construido la de arriba, y 2) ¿cuál de todas las posibles válidas (en el sentido de obedecer el anillo de axiomas con el estándar de la multiplicación), además de tablas.