Hay cíclico, libre de los módulos donde el elemento de generación no es una base?

Question

Deje $R$ ser un anillo, y $M$ un trivial cíclico, libre de $R$-módulo. Deje $m$ generar $M$, por lo que el $M = Rm$. Es entonces el caso de que $m$ constituye una base para $M$, por lo que el $\mbox{ann}_{R}(m) = (0)$?

Sé que si $R$ es un dominio o un anillo conmutativo, es fácil mostrar que $m$ formas de base. Sin embargo, estoy seguro de si o no que tiene de general de anillos. Cualquier visión se agradece. Gracias!

Answer 1

Vamos a tomar Georges prueba y convertirlo en un contraejemplo (!)

Deje $k$ ser un campo y $R$ el cociente de la libre álgebra $k\langle x,y, z\rangle$ por el ideal generado por a$xy-1$$zy$. Como un $k$-espacio vectorial, $R$ tiene una base que consta de los no-conmutativa monomials que no contienen ni $xy$ ni $zy$ subpalabras -esto se sigue inmediatamente de Bergman del Diamante Lema, por ejemplo, o de un simple ad hoc argumento (que seguramente se reducen a la Diamond lema...)

Ahora $M=R$, desde una perspectiva de izquierda $R$-módulo como de costumbre, es generada por $m=y$, pero, por supuesto,$z\cdot m=0$, lo $\{m\}$ no es una base al $m$ tiene un no-trivial de annihilator.

Observe que $M$ es por supuesto libre de rango $1$.

Answer 2

Sí, si $m$ genera $M$, que es una base para $M$, si $R$ es conmutativa .

Prueba
Deje $b$ ser una base de $M$, por lo que, en particular,$Ann(b)=0$.
Desde $m$ genera $M$ podemos escribir $b=rm$ algunos $r\in R$.
Por otro lado, nos puede escribir $m=sb$ algunos $s\in R$ desde $b$, una base, que sin duda genera un $M$.
Así que tenemos $b=rm=rsb$, por lo tanto $(1-rs)b=0$ e lo $1-rs=0$ porque $Ann(b)=0$.
Vemos que $r,s\in R^*$ es invertible y desde $m=sb$ $b$ es una base, $m$ es una base demasiado.

Editar
He usado esa base de un no-cero cíclico módulo tiene un solo elemento.
Desde que Isaac se pregunta por qué en un comentario, me voy a dar una prueba.
Me dicen que si $g$ es un generador de $M$, cualquiera de los dos elementos en $M$ son linealmente dependientes (aún suponiendo $R$ conmutativa !)
De hecho, si $u=ag$ $v=bg$ son arbitrarias en $M$, tenemos una relación lineal $bu-av=0$ y este es un trivial relación lineal y $u,v$ son linealmente dependientes o $a=b=0$ y, a continuación, $u=v=0$ son sin duda linealmente dependiente en ese caso también.

Importante nueva edición
Yo había asumido en mi prueba de que $R$ es conmutativa sin decirlo. Ahora he hecho esta suposición explícita: todas mis disculpas a todos y gracias a Mariano por llamar mi atención sobre este punto.