Digamos que tenemos una masa puntual $\mu$ ubicado en $(0,0,R)$ y una cáscara esférica ( no teniendo en cuenta su volumen) de radio $R$ situado en el origen. Así que tenemos una partícula situada justo encima de la esfera y queremos determinar la fuerza gravitatoria total ejercida sobre la partícula por la envoltura esférica.
Como la fuerza está dirigida a lo largo del eje z, sólo tenemos que considerar la componente z de la fuerza. Además, supongamos que la cáscara tiene una densidad homogénea $\sigma$ . Podemos entonces escribir $dM = \sigma dA = \sigma R^2 \sin \theta d\theta d\phi$ . Así que tenemos $$ dF_z = \frac {(z-R)G\mu dM}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z-R)^2}^{\ 3}} = \sigma \mu G R^2 \frac { (z-R)\sin \theta d\theta d\phi }{ \sqrt{x^2 + y^2 + (z-R)^2}^{\ 3} } $$ A continuación, integramos sobre toda la esfera: $$ F_z = \iint \sigma \mu G R^2 \frac { (z-R)\sin \theta d\theta d\phi }{ \sqrt{x^2 + y^2 + (z-R)^2}^{\ 3} } $$ Esto resulta ser igual a $-2\pi G \sigma \mu$ y $\sigma = \frac M{4\pi R^2}$ , donde $M$ es la masa total de la envoltura esférica, lo que da como resultado $-\frac {GM\mu}{2R^2}$ .
Lo que no entiendo es por qué hay un factor 2 en el denominador, ¿realmente debería estar ahí? Sólo para el protocolo, obtenemos la fórmula clásica si la partícula está fuera de la cáscara y cero si está dentro de la cáscara.
