Aquí es una prueba de uso de las diversas propiedades universales, en caso de que usted está interesado.
Primero de todo, necesitamos introducir una notación para las diversas morfismos involucrados en la construcción de la mano derecha. Dado flechas $f,g: X \to Y$, dejamos $X \times_{Y} Y$ ser su retirada. Esto viene equipado con flechas $h_1, h_2: X \times_Y X \to X$ tal que $$f \circ h_1 = g \circ h_2.$$ By the universal property of products, there is an arrow $h: X \times_Y X \X \X veces$ such that $$h_1 = p_1 \circ h \text{ and } h_2 = p_2 \circ h,$$ where $p_1,p_2 : X \times X \a X$ are the projections. Let $\Delta X \X \times X$ be the map induced from two copies of the arrow $\operatorname{id}_X: X \a X$; it follows that $\Delta$ satisfies $$p_1 \circ \Delta = \operatorname{id}_X = p_2 \circ \Delta.$$
Aprovechamos la retirada de $h$$\Delta$, que es el lado derecho $R:= X \times_{X \times X} (X \times_{Y} X)$. De nuevo, hay flechas $k_1: R \to X \times_Y X$ $k_2: R \to X$ tal que $$h \circ k_1 = \Delta \circ k_2.$$
Ahora, si $R$ va a ser el ecualizador de $f$$g$, tenemos que identificar una flecha $R \to X$, y la más obvia es $k_2$ (hay otro, pero que se puede ser demostrado ser igual), y por lo tanto, primero debemos demostrar que $f \circ k_2 = g \circ k_2$. Tenemos (mediante las distintas fórmulas de arriba)
\begin{align*}
f \circ k_2 &= f \circ \operatorname{id}_X \circ k_2 = f \circ p_1 \circ \Delta \circ k_2 = f \circ p_1 \circ h \circ k_1 \\
&= f \circ h_1 \circ k_1 = g \circ h_2 \circ k_1 = g \circ p_2 \circ h \circ k_1 = g \circ p_2 \circ \Delta \circ k_2 \\
&= g \circ \operatorname{id}_X \circ k_2 = g \circ k_2
\end{align*}
lo que demuestra el resultado.
Estamos próximos a demostrar que el par $(R,k_2)$ tiene la característica universal de la ecualizador de $f$$g$. Supongamos que nos dan una morfismos $q: Q \to X$ tal que $f \circ q = g \circ q$. Debemos demostrar que existe un único $\eta: Q \to R$ tal que $q = k_2 \circ \eta$. Por la característica universal de la retirada de $X \times_Y X$, no existe un único $\xi: Q \to X \times_Y X$ tal que $q = h_1 \circ \xi = h_2 \circ \xi$. De ello se sigue que
\begin{align*}
p_1 \circ \Delta \circ q &= q = h_1 \circ \xi = p_1 \circ h \circ \xi \\
p_2 \circ \Delta \circ q &= q = h_2 \circ \xi = p_2 \circ h \circ \xi
\end{align*}
y, por tanto, $\Delta \circ q = h \circ q$ por el universal de la propiedad del producto $X \times X$ (unicidad de la inducida por el mapa). De ello se sigue, por la característica universal de $R$ (un pullback) que existe una (única) $\eta: Q \to R$ tal que $\xi = k_1 \circ \eta$$q = k_2 \circ \eta$, y la última fórmula es precisamente lo que necesitamos, pero tenemos que mostrar que $\eta$ es la única flecha de satisfacciones $q = k_2 \circ \eta$. Así, supongamos que el $q = k_2 \circ \bar{\eta}$. Esto es suficiente para mostrar que $\xi = k_1 \circ \bar{\eta}$ también. La flecha $\xi$ era el único satisfacer $q = h_1 \circ \xi = h_2 \circ \xi$, por lo que se demuestra que estas dos fórmulas son satisfechos por $k_1 \circ \bar{\eta}$. Esto es fácil:
$$ h_1 \circ k_1 \circ \bar{\eta} = p_1 \circ h \circ k_1 \circ \bar{\eta} = p_1 \circ \Delta \circ k_2 \circ \bar{\eta} = k_2 \circ \bar{\eta} = q $$ and, similarily, $h_2 \circ k_1 \circ \bar{\eta} = p$. Hence $k_1 \circ \bar{\eta} = \xi$, and hence $\eta = \bar{\eta}$ by uniqueness. This proves that $Eq(f,g) \cong X \times_{X \times X} (X \times_Y X)$.
