Expandir $\binom{xy}{n}$ en términos de $\binom{x}{k}$'s y $\binom{y}{k}$'s

Question

Motivados por esta pregunta, quiero encontrar un conjunto completo de relaciones para el anillo de enteros con valores de polinomios, donde los generadores son los polinomios $\binom{x}{n}$$n\in \mathbb{N}$. La mejor manera de hacer esto es para describir cómo se descompone $\binom{x+y}{n}$ $\binom{xy}{n}$ como una suma de productos de $\binom{x}{0},\dots, \binom{x}{n}$$\binom{y}{0},\dots,\binom{y}{n}$. Esto se puede hacer, en principio, por pelar los binomios comenzando con el más alto grado y trabajar su camino hacia abajo. Jugando con Salvia, pronto intuyó que

$\binom{x+y}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{x}{k}\binom{y}{n-k}$

y de hecho, yo creo que esto tiene una combinatoria de prueba que de forma directa se generaliza el de la identidad de $\binom{m}{n} = \binom{m}{n-1} + \binom{m-1}{n-1}$.

Pero $\binom{xy}{n}$ parece no ser tan sencillo. Las primeras expansiones son:

$\binom{xy}{2} = 2\binom{x}{2}\binom{y}{2} + x\binom{y}{2} + y \binom{x}{2}$

$\binom{xy}{3} = 6\binom{x}{3} \binom{y}{3} + $

$\qquad ~ ~ 6 \binom{x}{3}\binom{y}{2} + 6\binom{x}{2}\binom{y}{3} + $

$\qquad ~ ~ x \binom{y}{3} + 4 \binom{x}{2} \binom{y}{2} + y \binom{x}{3} $

$\binom{xy}{4} = 24\binom{x}{4}\binom{y}{4} + $

$\qquad ~ ~ 36\binom{x}{3}\binom{y}{4} + 36 \binom{x}{4}\binom{y}{3} + $

$ \qquad ~ ~ 14 \binom{x}{2}\binom{y}{4} + 45\binom{x}{3}\binom{y}{3} + 14 \binom{x}{4}\binom{y}{2} + $

$\qquad ~ ~ 12 \binom{x}{2}\binom{y}{3} + 12 \binom{x}{3}\binom{y}{2} + $

$\qquad ~ ~ \binom{x}{2}\binom{y}{2}$

y no es tan fácil discernir un patrón.

Esto debe ser bien conocidos: ¿qué es una forma cerrada de la expresión de la expansión de la $\binom{xy}{n}$?

Answer 1

La identidad de $\binom{x+y}{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{x}{k} \binom{y}{n-k}$ es bien conocido, se llama el Vandermonde de identidad. La respuesta de $\binom{xy}{n}$ puede ser explicado a través de la noción de un $\lambda$-ring, donde aquí vamos a considerar el binomio anillo de $\mathbb{Z}$ $\lambda^n(x)=\binom{x}{n}$ . El principal teorema sobre la simétrica polinomios nos permite escribir $$\sum_{k=0}^{n} P_k(\sigma_1,\dotsc,\sigma_k,\tau_1,\dotsc,\tau_k) \,t^k = \prod_{i,j=1}^{n} (1+ t x_i y_j)$$ para algunos polinomios $P_k \in \mathbb{Z}[x_1,\dotsc,x_k,y_1,\dotsc,y_k]$ donde $\sigma_1,\dotsc,\sigma_n$ son de la escuela primaria simétrica polinomios en $x_1,x_2,\dotsc,x_n$ $\tau_1,\dotsc,\tau_n$ son de la escuela primaria simétrica polinomios en $y_1,\dotsc,y_n$. Entonces, uno tiene (por definición) $$\lambda^n(xy)=P_n\bigl(\lambda^1(x),\dotsc,\lambda^n(x),\lambda^1(y),\dotsc,\lambda^n(y)\bigr).$$ Por ejemplo: $$\lambda^2(xy) = x^2 \lambda^2(y) + \lambda^2(x) y^2 - 2 \lambda^2(x) \lambda^2(y)$$ $$\lambda^3(xy)=x^3 \lambda^3(y) + \lambda^3(x) y^3 + x \lambda^2(x) y \lambda^2(y) - 3 x \lambda^2(x) \lambda^3(y) - 3 \lambda^3(x) y \lambda^2(y) + 3 \lambda^3(x) \lambda^3(y)$$ Por supuesto, uno tiene que probar que cada binomio anillo se convierte en un $\lambda$-ring. Véase, por ejemplo, Darij Grinberg las notas, Teorema 7.2 (que es un corolario del Teorema 7.1).

Answer 2

Una hermosa combinatoria respuesta fue encontrado por Gjergji Zajmi. Para una versión ampliada, ver la solución del Ejercicio 2 de mis PRIMOS 2015 proyecto de lectura de los conjuntos de problemas. (Ignore el Capítulo 2, no tiene nada que ver con esto.)

A diferencia de Martin respuesta, esta directamente da una fórmula para $\dbinom{xy}{n}$ como una combinación lineal no negativa de los productos de $\dbinom{x}{k}\dbinom{y}{\ell}$, frente a un polinomio en el $\dbinom{x}{k}$ e las $\dbinom{y}{\ell}$. Esto, por supuesto, no funciona para arbitrario $\lambda$-anillos.