¿Por qué son los caracteres del grupo simétrico de valor entero?

Question

Recuerdo que uno de mis profesores de mencionar este hecho durante una clase me tomó un tiempo, pero cuando busqué en mis notas (y mi libro de texto) no pude encontrar ninguna mención de él, y no digamos la prueba.

Mi mejor conjetura es que tiene algo que ver con la teoría de Galois, ya que es suficiente para probar que los personajes son racionales - tal vez tenemos que encontrar alguna manera de tener el grupo simétrico actuar en el grupo de Galois de una representación o algo. Sería bueno si una idea a lo largo de estas líneas trabajado, porque entonces podríamos generalizar para sacar conclusiones sobre el campo generado por los caracteres de cualquier grupo. Es este el caso?

Answer 1

Si $g$ es un elemento de orden $m$ en un grupo $G$, y $V$ una representación compleja de $G$, entonces $\chi_V(g)$ se encuentra en $F=\mathbb{Q}(\zeta_m)$. Desde el grupo de Galois de $F/\mathbb{Q}$ es $(\mathbb{Z}/m)^\times$ para $k$ relativamente primos $m$ los elementos de $\chi_V(g)$ y $\chi_V(g^k)$ difieren por la acción de la correspondiente elemento del grupo de Galois.

Si $G$ es un grupo simétrico y $g$ un elemento como el de arriba, a continuación, $g$ y $g^k$ son conjugado: tienen el mismo ciclo de descomposición. Por lo que $\chi_V(g)=\chi_V(g^k)$ siempre $(k,m)=1$ y por tanto $\chi_V(g)\in \mathbb{Q}$.

Ahora, debido a que $\chi_V(g)$ es un entero algebraico (true para cada grupo finito, todos los complejos de caracteres) y un número racional, es un ser racional entero, es decir, un número entero: $\chi_V(g)\in\mathbb{Z}$.

Answer 2

Sólo quiero subrayar que esta pregunta apunta a la racionalidad de la teoría de las representaciones y caracteres que está expuesto tan bien en los Capítulos 12 y 13 de Serre del libro Lineal de Representaciones de Grupos Finitos.

En particular, se tiene los siguientes hechos.

[La sección 13.1, Corolario 1]: Los siguientes son equivalentes:
(i) Cada uno de los personajes de $G$ es $\mathbb{Q}$de valor.
(ii) Cada uno de los personajes de $G$ es $\mathbb{Z}$de valor.
(iii) Cada clase conjugacy de $G$ es racional: por cada $g \in G$ y entero positivo $k$ prime el orden de $g$, $g^k$ es conjugado a $g$.

Como se señaló anteriormente, ya que elevar un elemento del grupo simétrico $S_n$ a una potencia prime a su orden de no cambiar el ciclo de descomposición, la condición (iii) los fondos y la implicación (iii) $\implica$ (ii) responde a la pregunta. [Prueba de ello es el básico de Galois de la teoría de la argumentación dada en algunas otras respuestas. La implicación (ii) $\implica$ (iii) es más profundo en el que se utiliza el irreduciblity de la cyclotomic polinomios.]

Algunos otros han dicho que el más corto o el más simple prueba surge de saber que todas las representaciones irreducibles de $S_n$ puede ser explícitamente construido y por lo visto para ser realizable más de $\mathbb{Q}$. Discrepo respetuosamente. Este es un trivial teorema de Jóvenes que Serre se refiere, pero no se demuestra en su libro (Ejemplo 1, pág. 103).

Por otra parte, Serre explica que la condición de la racionalidad de los personajes es en general más débil que la racionalidad de las representaciones: hay obstrucciones aquí en el grupo de Brauer de $\mathbb{Q}$! Es decir, por el Teorema de Maschke el anillo de grupo de $\mathbb{Q}[G]$ es semisimple, dicen que un producto de la simple $\mathbb{Q}$-álgebras de $A_i$ que son en bijective correspondencia con la irreductible de $\mathbb{Q}$-representaciones de $V_i$. Por Schur del Lema, $D_i = End_G(V_i)$ es una división de álgebra, y uno tiene $A_i \cong M_{n_i}(D_i)$. Entonces:

[Sección 12.2, Corolario]: Los siguientes son equivalentes:
(i) Cada uno $D_i$ es conmutativa.
(ii) Cada $\mathbb{C}$-representación de $G$ es racional sobre la abelian número de campo generadas por su carácter de valores.

Por lo tanto el hecho de saber que la tabla de caracteres es de $\mathbb{Z}$de valor no es suficiente. El ejemplo estándar [Ejercicio 12.3] es el quaternion grupo $G = $ {$\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$} para que

$\mathbb{Q}[G] \cong \mathbb{Q}^4 \oplus \mathbb{H}$,

donde $\mathbb{H}$ es una división de álgebra de cuaterniones más de $\mathbb{Q}$, ramificado en $2$ y $\infty$. Corresponde a una irreductible $2$-dimensional de $\mathbb{C}$-representación con carácter racional, pero que no puede ser realizado más de $\mathbb{Q}$.

Answer 3

La respuesta más rápida es debido a que todas las representaciones irreducibles del grupo simétrico puede ser construido sobre el campo de los números racionales. Véase el artículo de wikipedia sobre el Joven symmetrizers por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer

Más generalmente, se puede decir que las representaciones de cualquier finito Weyl grupo puede ser construida a lo largo de los números racionales. Esto se explica en uno de Springer documentos: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=491988

Otra razón es que uno escriba una explícita combinatoria fórmula para los valores de estos personajes. Este es el Murnaghan-Nakayama regla y puede ser encontrado en muchas fuentes. Una de tales fuentes es Stanley Combinatoria Enumerativa volumen 2, Sección 7.17, y la Sección 7.18 para su conexión con el grupo simétrico.

Answer 4

Una manera de demostrar que usted obtenga los números enteros es demostrar que la simple correspondiente módulos se definen más de $\mathbb Z$ (esto es, por supuesto, mucho más fuerte que sus caracteres con valores en $\mathbb Z$), y esto es lo que se consigue mediante la construcción de "combinatoria'. Esto se hace en G. D. James libro sobre la teoría de la representación de grupos simétricos, por ejemplo. Hay incluso construcciones reales matrices de dar a la acción de los elementos de $S_n$ en el simple módulos---los llamados Jóvenes ortogonal forma.

Answer 5

Basado superficial googlear (yo soy de ninguna manera, incluso un principiante en este material, más como un bebé), la afirmación de que cada representación irreducible de $S_n$ se define más de $\mathbb{Q}$ parece seguir de Springer teoría, pero creo que nos gustaría más elemental de la prueba. Creo que Schur-Weyl la dualidad y de la Borel-Bott-teorema de Weil también debería funcionar?

De todos modos, el punto es que la "razón" por $S_n$ ha irreductible representaciones definido más de $\mathbb{Q}$ es porque está asociado a una expresión algebraica grupo de más de $\mathbb{Q}$, y así que, básicamente, cualquier maneras de tratar con las representaciones irreducibles de los grupos de Weyl mostrará esto. Dicho esto, hay un detalle extra en Springer teoría de tipo a, que me hace atreven a decir que esto funciona para todos los grupos de Weyl... pero creo que hace? Alguien podría prestar su visión?