Partición De Generación De Función

Question

a) Vamos $$P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_nx^n=1+x+2x^2+3x^3+5x^4+7x^5+11x^6+\cdots$$ ser la partición de generación de función, y deje $Q(x)=\sum_{n=0}^{\infty} q_nx^n$ donde $q_n$ es el número de particiones de $n$ que contiene no $1$s.

A continuación, $\displaystyle\frac{Q(x)}{P(x)}$ es un polinomio. Lo polinomio es?

b) Deje $P(x)$ ser la partición de generación de función, y deje $R(x)=\sum_{n=0}^{\infty} r_nx^n$ donde $r_n$ es el número de particiones de $n$ que contiene no $1$s o $2$s.

A continuación, $\displaystyle \frac{R(x)}{P(x)}$ es un polinomio. Lo polinomio es? (Poner la respuesta en la forma expandida)

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¿Cómo puedo iniciar este problema?

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Answer 1

Sugerencia: Tratar de entender por qué $$P(x)=\frac{1}{\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-x^n\right)},$$ y ¿cuáles son las correspondientes expresiones para$Q(x)$$R(x)$.

Spoiler:

\begin{align*} \frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x^2} \cdot \frac{1}{1-x^3}\cdot\ldots =\,&\Bigl(1+x^1+x^{1+1}+x^{1+1+1}+\ldots\Bigr)\times\\ \times\,&\Bigl(1+x^2+x^{2+2}+x^{2+2+2}+\ldots\Bigr)\times \\ \times\,&\Bigl(1+x^3+x^{3+3}+\ldots\Bigr)\times \ldots=\end{align*} \begin{align*} =1+x^1+\left(x^{1+1}+x^2\right)+\left(x^{1+1+1}+x^{2+1}+x^3\right)+\\+\left(x^{1+1+1+1}+x^{2+1+1}+x^{2+2}+x^{3+1}+x^4\right)+\ldots\end{align*}