Resolver la ecuación funcional $\frac{f(x)}{f(y)}=f\left( \frac{x-y}{f(y)} \right)$

Question

Resolver la ecuación funcional $$ \frac{f(x)}{f(y)}=f\left( \frac{x-y}{f(y)} \right), $$ aquí $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $f$ es diferenciable en $x=0.$

Por juego $x=y$ obtenemos $f(0)=1$ .

Diferenciar $$ \frac{f'(x)}{f(y)}=f'\left( \frac{x-y}{f(y)} \right) \cdot \frac{1}{f(y)} $$ y establecer $x=0$ Obtenga $$ f'(0)=f'\left( \frac{-y}{f(y)} \right). $$ Así que reducimos el problema al problema de describir toda la función $g$ $$ g\left( -\frac{y}{g(y)} \right)=const. $$

No tengo más ideas.

Answer 1

Definamos nuestras variables como $x=x+h$ y $y=x$ para mayor comodidad.

Entonces nuestra ecuación funcional se convierte en

$$\frac{f(x+h)}{f(x)}=f\left( \frac{h}{f(x)} \right)$$

Con $h=0$ y $x=x_0$ podemos conseguir que $f(0)=1$ . (Si $f$ existe y es distinto de cero también para un único $x_{0}$ , en caso contrario, no). $x_0=0$ es entonces uno de esos puntos.

Utilizando $f(x+h)=f(x)\times f\left( \frac{h}{f(x)} \right) $ y la definición de derivada,

$$f'(x)=\lim_\limits{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_\limits{h \to 0}\;f(x) \times \frac{f\left( \frac{h}{f(x)} \right)-1}{h}=\lim_\limits{h \to 0}\frac{f\left( \frac{h}{f(x)} \right)-1}{\frac{h}{f(x)}}$$

Entonces, $\lim_\limits{x \to x_{0}} f'(x)$ existe para cualquier $x_{0}$ y es igual a $f'(0)$ . Por lo tanto, $f'(x)$ es continuo ' casi en todas partes ' o en todas partes y es igual a $f'(0)$ . Podemos integrar $f'(x)$ para obtener una recta lineal, porque los conjuntos nulos tienen medida $0$ . El conjunto nulo sólo consiste en el punto donde $f(x) $ no existe.

Bajo el supuesto de que $f(x)$ es finito en el punto de inspección $x$ y también el hecho de que $f(0)=1$ . Vemos que este límite es simplemente $f'(0)$ que existe. Obtenemos $$f'(x)=f'(0)$$

Que al integrarse da la solución general, $$f(x)=f'(0)x+c=ax+c$$

también $f(0)=1\implies c=1$ que da $$f(x)=ax+1$$ excepto posiblemente en un conjunto nulo que contenga los puntos $x$ donde $f(x)$ no existe o $f(x)=0$

Answer 2

Dejemos que $f(x)=x+1$ . Evidentemente, es una solución.