Tallo de la estructura de la gavilla en el producto de fibra de esquemas de

Question

Deje $X,Y$ ser esquemas, no es necesario separados. Deje $f:X\to Y$ ser una de morfismos de esquemas y $f(x)=y~,x\in X,~y\in Y$. Luego tenemos el esquema teórico de la fibra a $y$, es decir, $f^{-1}(y)=X\times_{Y} \text{Spec } \mathbb k(y)$ donde $\mathbb k(y)$ es el residuo de campo en $y$. Me dijeron que $\mathcal O_{x,f^{-1}(y)}=\mathcal O_{x,X}\otimes_{\mathcal O_{y,Y}}\mathbb k(y)$. Puedo mostrar este hecho por escrito los anillos que participan de forma explícita y la prueba sólo funciona para este tipo especial de fibra de producto. Ahora estoy preguntando si existe una generalización de la siguiente manera.

Deje $X,Y,Z$ ser esquemas, $f:X\to Z,~g:Y\to Z$ ser morfismos de esquemas, supongamos que $w\in W=X\times_Z Y$ tal que $w$ es enviado a $x$, $y$ y $z$ en $X$, $Y$ y $Z$ respetively. Se $\mathcal O_{x,X}\otimes_{\mathcal O_{z,Z}} \mathcal O_{y,Y}$ $\mathcal O_{w,W}$ naturalmente isomorfo? Tenga en cuenta que puede haber más de una $w$ sobre el par de puntos de $(x,y)$, que mucho tienen el mismo local anillos si mi conjetura es verdadera.

Traté de demostrar esto a través de algebra conmutativa. La pregunta es local. Deje $X,Y,Z$$\text{Spec } A,\text{Spec } B,\text{Spec } C$, respectivamente. Deje $x,y,z,w$ corresponden al primer ideales $P_1,P_2,Q,I$, respectivamente. Entonces tengo que demostrar que $(A\otimes_C B)_I=A_{P_1}\otimes _{C_Q} B_{P_2}$. Quiero ver la característica universal del tensor de productos. Dado $\alpha:A_{P_1}\to E,\beta:B_{P_2}\to E$ que coinciden cuando se limita a $C_{Q}$, tenemos un único homomorphism $\gamma: A\otimes_C B\to E$. La única cosa que queda comprobado es que el $\gamma$ mapas del complemento de $I$ a unidades. Y yo estoy atrapado aquí.

Si mi conjetura es verdadera, me ayudaría a terminar mi prueba? Por supuesto que va a apreciar más si te dan una mejor prueba. Si mi suposición es falsa, entonces ¿qué es el derecho de las condiciones de lo que es verdad?

Answer 1

Los productos de fibra de existir en la categoría de local rodeada de espacios (ver, por ejemplo, Gillam del papel), y esto también proporciona una construcción directa (sin pegar!) el producto de fibra de esquemas y revela su explícito de la estructura como un localmente anillado espacio.

Si $f : X \to S$ $g : Y \to S$ son morfismos de localmente anillado espacios, entonces el producto de fibra de $X \times_S Y$ tiene la siguiente descripción: los Elementos son de la forma $(x,y,s,\mathfrak{p})$ donde $(x,y,s)$ se encuentra en el subyacente topológico producto de fibra, es decir,$x \in X$, $y \in Y$ con $f(x)=s=g(y)$, e $\mathfrak{p} \subseteq \mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y}$ es un alojamiento ideal satisfacer $\mathfrak{p} \cap \mathcal{O}_{X,x} = \mathfrak{m}_x$$\mathfrak{p} \cap \mathcal{O}_{Y,y} = \mathcal{m}_y$. El tallo de la estructura de la gavilla en ese punto es la localización de la $(\mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y})_{\mathfrak{p}}$. Como para la topología y la estructura de la gavilla en general, se utiliza (como en la construcción de afín a los planes) la localización de los elementos de $f \notin \mathfrak{p}$.

En realidad, todo esto puede ser derivado de la característica universal de esquemas locales y la universal de la propiedad de los productos de fibra (ejercicio).

Answer 2

No, no es cierto que $\mathcal O_{x,X}\otimes_{\mathcal O_{z,Z}} \mathcal O_{y,Y}$ $\mathcal O_{w,W}$ son isomorfos.
Tomemos, por ejemplo,$X=Y=Spec (\mathbb C)$$Z=Spec (\mathbb R)$, con la obvia morfismos.
A continuación, $$W=X\times_Z Y=Spec (\mathbb C)\times_{Spec(\mathbb R)}Spec(\mathbb C)=Spec (\mathbb C\otimes_\mathbb R\mathbb C)=Spec(\mathbb C\times \mathbb C)=\lbrace w_1,w_2\rbrace$$
Tenemos $$\mathcal O_{w_1,W}=\mathcal O_{w_2,W}=\mathbb C\neq \mathcal O_{x,X}\otimes_{\mathcal O_{z,Z}} \mathcal O_{y,Y}=\mathbb C\otimes_\mathbb R\mathbb C=\mathbb C\times \mathbb C$$ Observe que el lado derecho no es ni siquiera un anillo local!
Estoy feliz de que su pregunta me permite de alguna manera de ilustrar el punto que me hizo en la Edición aquí