Qué $S^1 \times S^3$ admite una estructura compleja?

Question

Qué $S^1 \times S^3$ admite una estructura compleja?

Es parallelizable, por lo que admite casi de estructura compleja...¿hay una buena manera de ver que esto es o no es integrable?

Answer 1

Que casi estructura compleja qué tienes en mente? De hecho son mejores que paralelizable ( $S^1$ $S^2$ ), su tangen paquetes son álgebras de Lie para la comprobación de Nijenhuis tensor es muy fácil (es problema de programación lineal) sea cual fuere la estructura dada por la paralelization a los campos vectoriales que usted tiene en mente. Es incluso mejor, ya que ambos $S^1$ $S^3$ son compactos Mentira grupos a los que usted puede encontrar una izquierda invariante de la compleja estructura en $S^1 \times S^3$, por lo que Sí que admitir estructura compleja.

EDITAR: La estructura que se indica no es vell definido, ya que tienes que elegir una identificación de espacio de la tangente con $\mathbb{R}^4$. Te gustaría escribir algo como esto:

$\bullet$ $TS^1$ es paralelizable por un único vector de campo $\xi$ digamos

$\bullet$ $TS^3$ es paralelizable por campos vectoriales $e_1, e_2, e_3$

que los campos vectoriales $lifts$ a campos vectoriales en $S^1 \times S^3$ y dar un paralelization de $T(S^1 \times S^3)$ donde reposan soporte entre ellos es:

$\bullet$ $[\xi, e_i]=0, [e_1,e_2]=e_3, [e_2,e_3]=e_1, [e_3,e_1]=e_2.$

Ahora usted puede definir casi una estructura compleja, por ejemplo:

$$e_2 \mapsto \xi \mapsto - e_2$$ $$e_1 \mapsto e_3 \mapsto -e_1.$$ Que es casi una estructura compleja, sin embargo, tienes que chcecke si es integrable - así que si $$[J,J](X,Y)=0$$ for all $X,Y \in \{e_1,e_2, e_3, \xi\}$.