La solución de la desigualdad $\frac{2x}{x-2}>1$

Question

Estoy tratando de resolver

$$\frac{2x}{x-2}>1$$

pero me parece que no puede obtener la respuesta correcta. Estoy haciendo algo mal pero no sé qué; es por eso que estoy pidiendo. Esto es lo que tengo:

$$\frac{2x}{x-2}>1$$

Ya no sabemos si el denominador es positivo o negativo, que no se puede multiplicar ambos lados con la expresión de $x-2$. En lugar de resolver para 2 de los casos (y $x \not= 2$):

Caso 1: $x-2 > 0$, lo $x > 2$.

$$\frac{2x}{x-2}>1$$ $$2x > x-2$$ $$x > -2$$

Caso 2: $x-2 < 0$, lo $x < 2$.

$$\frac{2x}{-(x-2)}>1$$ $$2x < 2-x$$ $$x < \frac{2}{3}$$

Para el caso 1 obtenemos la desigualdad $x > 2$$x > -2$. Esto se simplifica a $x > 2$.

Para el caso 2, obtenemos la desigualdad $x < 2$$x < \frac{2}{3}$. Esto se simplifica a $x < \frac{2}{3}$.

La combinación de nuestros 2 casos se obtiene la respuesta: $x < \frac{2}{3}$ o $x > 2$.

Que por desgracia está mal! La respuesta debería ser $x < -2$ o $x > 2$.

Supongo que el caso 2 es errónea. He intentado diferentes maneras de hacerlo, pero nunca me dio la respuesta correcta. En mi respuesta anterior, me escribió el caso 2 como lo escribí en mi primer intento en esto. Como ya he dicho, aunque, me hizo probar otras maneras también. :-/

Answer 1

Para el caso 2, no debe cambiar el denominador a $-(x-2)$. En lugar de proceder de la siguiente manera: $$\dfrac{2x}{x-2} > 1$$ $$ 2x < x-2$$ You change the inequality, as you know the denominator is negative. However, you do not introduce a negative sign. You wil have $x<-2$ como se desee.

Answer 2

Otro enfoque común es reducir la desigualdad a algo de la forma $\displaystyle\frac{N(x)}{D(x)}\lesseqgtr 0$.
Luego se tiene que estudiar el signo del numerador y el signo del denominador, es decir, la resolución de algunos no fraccionales de las desigualdades. Finalmente, se puede estudiar el signo de la relación de $N(x)$ $D(x)$ y contestar correctamente el problema.

En el ejemplo, se puede obtener el equivalente a la desigualdad de $\displaystyle \frac{x+2}{x-2} > 0$. Después de haber descartado el valor de $x=2$, se resuelve:

• $x+2 > 0 \Longrightarrow x>-2$, es decir, su numerador es positivo iff $x>-2$;
• $x-2 > 0 \Longrightarrow x>2$, es decir, su denominador es positivo iff $x>2$.

La conclusión a la que sigue, ya

• en el intervalo de $(-\infty,-2)$ $x+2$ $x-2$ son negativos, por lo que su relación es positiva;
• en el intervalo de $(-2,2)$ numerador y el denominador tienen signo opuesto, por lo que su relación es negativa;
• en el intervalo de $(2,\infty)$ $x+2$ $x-2$ son positivos, por lo que su relación es positiva.

Answer 3

A la hora de resolver fracciones de las desigualdades, el primer paso es quitar el denominador. Podríamos multiplicar por $x-2$, pero entonces debemos pensar sobre el signo de $x-2$, y de cómo la $x-2 < 0$ $x - 2 > 0$ de los casos el efecto de las cosas. En lugar de ello, se podrían multiplicar por $(x-2)^2$ porque $(x-2)^2 \ge 0.$ Haciendo esto nos da:

$$ 2x(x-2) > (x-2)^2 \iff 2x^2 - 4 > x^2 - 4x + 4 \iff (x-2)(x+2) > 0 .$$

Vemos que $(x-2)(x+2) > 0$ si y sólo si $x-2$ $x+2$ tienen los mismos signos. Claramente $x = -2$ $x = 2$ son valores importantes. En la región de $(-\infty,-2)$ tenemos $x\pm 2<0$. En la región de $(-2,2)$ tenemos $x-2 < 0$$x+2 > 0$, en la región de $(2,\infty)$ tenemos $x \pm 2 > 0$. De ello se sigue que:

$$ \frac{2x}{x-2} > 1 \iff x \in (-\infty,-2) \, \cup \, (2,\infty) \, . $$

Answer 4

Tenga en cuenta también que el método de la multiplicación a través de la no-negativo $(x-2)^2$ - como se anuncia en un mal trabajado a través de post en los que yo estaba tratando de comentar antes de que se haya eliminado - funciona de la siguiente manera $$2x(x-2)>(x-2)^2$$ which gives $$x^2-4>0$$ ie $$(x+2)(x-2)>0$$ que es equivalente a la publicidad de respuesta.

Answer 5

Otros han hecho un buen trabajo de localización de su error. Pero nadie ha publicado esto frecuentemente se ve otro método, por lo que voy a hacer.

Usted tiene $$ \frac{2x}{x 2}>1. $$ Esto se convierte en $$ \frac{2x}{x 2}-1>0. $$ El denominador común es $x-2$: $$ \frac{2x}{x 2} - \frac{x 2}{x 2} > 0. $$ Simplificar: $$ \frac{x+2}{x 2}>0. $$ Un cociente es positivo si y sólo si el numerador y el denominador son ambos positivos o ambos negativos. Ambos son positivos al$x>2$$x>-2$, por lo tanto al $x>2$. Ambos son negativos al$x<2$$x<-2$, por lo tanto al $x<-2$. Así que la solución es $x>2$ o $x<-2$.