Una prueba en la teoría de números tratar con modular de congruencias.

Question

Así que le pide a mostrar que $$(p-1)(p-2)\cdots(p-r)\equiv (-1)^{r}r! \pmod{p}$$ for $r=1,2,...,p-1$. He trabajado en esto y quiero saber si mi prueba es suficiente para mostrar lo que se pregunta. Yo también agradecería cualquier alternativa de las pruebas.

Prueba:

Sabemos que $(p-1)\equiv -1\pmod{p},\,(p-2)\equiv -2\pmod{p}, \,\,\ \cdots \,,(p-r)\equiv -r\pmod{p}$. Multiplicando todos estos juntos hemos $$(p-1)(p-2)\cdots(p-r)\equiv (-1)(-2)\cdots(-r)\pmod{p}$$ which is the same $$(p-1)(p-2)\cdots(p-r)\equiv (-1)^r r!\pmod{p}$$ Q. E. D.

Sí? No? Cualquier sugerencia. Gracias de antemano.

Answer 1

La prueba está bien. La única sugerencia que tengo es intentar formalizar un poco más por el uso de la inducción, pero todo parece correcto. Si usted debe usar la inducción o en realidad no depende del nivel del curso en el que estás tomando. Has visto la inducción?