¿Hay siempre un primo entre un primo y el índice de ese primo?

Question

¿Se sabe si siempre hay un primo estrictamente entre $p_n$ y $p_n+n$ , donde $p_n$ es el $n$ -número primo y $n\geq5$ ?

Sé de El postulado de Bertrand que establece que para cualquier número entero $n>3$ siempre hay un primo $p$ tal que $n<p<2n-2$ .

Si conectáramos $p_n$ en lugar de $n$ obtendríamos $p_n<p<2p_n-2$ pero como supongo que $p_n+n<2p_n-2$ se mantendrá para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ tenemos que este problema mío es más fuerte que el postulado de Bertrand y parece que no está implicado por él.

Entonces, ¿se sabe esto?

Answer 1

jagy@phobeusjunior:~$ 

     p    p + n  n    
     2     3     1    p/log p  2.885390081777927    p/log^2 p  4.162737962011215
 NONONONONO  3
     3     5     2    p/log p  2.730717679880512    p/log^2 p  2.485606349070669
 NONONONONO  5
     5     8     3    p/log p  3.106674672798059    p/log^2 p  1.930285504520985
     7    11     4    p/log p  3.597288396588255    p/log^2 p  1.848640544032643
 NONONONONO  11
    11    16     5    p/log p  4.587356305666709    p/log^2 p  1.913076170467284
    13    19     6    p/log p  5.06832618826664    p/log^2 p  1.975994642359189
    17    24     7    p/log p  6.00025410570094    p/log^2 p  2.117826431351823
    19    27     8    p/log p  6.452842166007064    p/log^2 p  2.191535369442038
    23    32     9    p/log p  7.335366744787423    p/log^2 p  2.339461099153619
    29    39    10    p/log p  8.612251926827733    p/log^2 p  2.557616663832689
    31    42    11    p/log p  9.027406962818835    p/log^2 p  2.628841176527419
    37    49    12    p/log p  10.24670205612772    p/log^2 p  2.837700081812219
    41    54    13    p/log p  11.04058283064003    p/log^2 p  2.973035835127401
    43    57    14    p/log p  11.43252118401864    p/log^2 p  3.039593967977556
    47    62    15    p/log p  12.20732420209676    p/log^2 p  3.170612003725475
    53    69    16    p/log p  13.34914438384008    p/log^2 p  3.362257656237909
    59    76    17    p/log p  14.46951764677999    p/log^2 p  3.548592219160638
    61    79    18    p/log p  14.83869415980414    p/log^2 p  3.609620399478779
    67    86    19    p/log p  15.93457740311697    p/log^2 p  3.789712791282478
    71    91    20    p/log p  16.65618860623435    p/log^2 p  3.907445336428887
    73    94    21    p/log p  17.01449483472118    p/log^2 p  3.965658006585665
    79   101    22    p/log p  18.08008761459324    p/log^2 p  4.137842634827439
    83   106    23    p/log p  18.7832074896648    p/log^2 p  4.250709440961442
    89   113    24    p/log p  19.82784807433869    p/log^2 p  4.417343362461308
    97   122    25    p/log p  21.20352530592732    p/log^2 p  4.634943148444331
     p  p + n    n    

A partir de los resultados de Dusart, sólo tenemos que comprobar $p < 4000.$ En ese rango, siempre obtenemos $p_{n+1} \leq p_n + n,$ con igualdad sólo en $p_{n+1} = 3,5,11.$

Como se puede ver en la salida, $n$ se trata de $p / \log p$ y mucho más grande que $p / \log^2 p,$ incluso para números bastante pequeños. De hecho, desde Rosser y Schoenfeld (1962) tenemos, para $n \geq 6,$ $$p_n > n \log n,$$ pero $$p_n < n \log n + n \log \log n$$

sí. En primer lugar, esto es razonable, ya que $n \approx \frac{p}{\log p}.$ Es decir, usted está preguntando, más o menos, si tenemos una prima entre $p$ y $p + \frac{p}{\log p}$

Tenemos el resultado de Dusart página 8, teorema 6.8, que existe un primo entre $x$ y $$x + \frac{x}{25 \log^2 x}$$ siempre y cuando $x \geq 396738.$

Aquí vamos, Pierre Dusart en su tesis doctoral, para un límite inferior da un resultado más suave que es lo suficientemente bueno, hay un primo entre $x$ y $$x + \frac{x}{2 \log^2 x}$$ siempre y cuando $x \geq 3275.$

MEJOR BERTRAND