Suponiendo Freiling el axioma de simetría, podemos definir un conjunto específico $X \subseteq \mathbb{R}$ tal que $|\mathbb{N}|<|X|<|\mathbb{R}|$?

Question

He aprendido aquí que GCH no es muy popular entre los teóricos, por una variedad de razones. También aprendí sobre Freiling el axioma de simetría, la cual, en presencia de los otros axiomas de ZFC) es equivalente a la negación de la hipótesis continua, que es equivalente a la afirmación de que no existe un conjunto $X$ tal que $|\mathbb{N}|<|X|<|\mathbb{R}|.$

Así que me preguntaba. Es posible escribir una declaración de $P(x)$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos tales que Freiling el axioma de simetría demuestra que $X=\{x \in \mathbb{R}|P(x)\}$ satisface $|\mathbb{N}|<|X|<|\mathbb{R}|?$

Answer 1

Tanto como yo sospechaba, no hay ningún conjunto específico de que se puede escribir en detalles explícitos que los testigos del fracaso de $\sf CH$ en el caso de que el axioma de simetría tiene.

Lo siguiente es tomado de la siguiente papel,

Galeno Weitkamp, El $\Sigma^1_2$ Teoría de los Axiomas de la Simetría. El Diario de la Lógica Simbólica, Vol. 54, Nº 3, (Sep., 1989), pp 727-734.

En lugar de los números reales, podemos utilizar las secuencias binarias, y ya podemos codificar contables secuencias como los números reales podemos pensar acerca de cada número de la codificación de una secuencia (y, por tanto, un conjunto). Tenga en cuenta que es importante que nos codificar secuencias, porque vamos a tratar con los modelos donde se $\{A\subseteq\Bbb R\mid |A|=\aleph_0\}$ tiene cardinalidad estrictamente mayor que el de la continuidad.

Para cada número real $x$, vamos a $x_n$ $n$- ésimo número de la secuencia codificada por $x$.

Deje $\Gamma$ ser un pointclass (una colección de conjuntos)$2^\omega$, $A(\Gamma)$ abreviar la declaración de si $f\colon2^\omega\to2^\omega$ y la gráfica de $f$$\Gamma$, entonces no se $x,y$ tal que para cada $n$, $$y\neq f(x)_n\land x\neq f(y)_n.$$ En otras palabras, ni la $x$ ni $y$ aparecen en la secuencia codificada por el otro.

La primera teorema de Weitkamp demuestra es que en $\sf ZFC$ es cierto que $A(\bf\Sigma^1_1)$ mantiene, donde $\bf\Sigma^1_1$ es la clase de análisis conjuntos (imagen continua de los conjuntos de Borel).

Posteriormente se demuestra el siguiente teorema:

Si $\Gamma$ es una "razonable" pointclass tal que $A\in\Gamma$ implica que el $A$ es Lebesgue medible, entonces en $\sf ZF+DC$ es cierto que $A(\Gamma)$ mantiene.

Si asumimos que la consistencia de la inaccesibles cardenales, a continuación, dos consecuencias son estas:

1. Es compatible con $\sf ZFC$ que no "perfectamente descriptible conjunto de" formas un contraejemplo a$\sf CH$, incluso si el axioma de simetría tiene.
2. Es compatible con $\sf ZF+DC$ que todos los conjuntos son Lebesgue medibles, y por lo tanto, el axioma de simetría tiene, pero no hay una que tiene cardinalidad estrictamente entre los enteros y los números reales.

Por lo tanto, realmente no podemos describir una explícita contraejemplo a$\sf CH$, incluso si el axioma de simetría tiene.

Answer 2

Parece que usted está pidiendo definibles contraejemplos a CH. Es coherente que no es una sola: Si añades $\omega_2$ Cohen reales de a $L$, entonces el conjunto de edificable de reales en el modelo resultante, forma un conjunto de tamaño $\omega_1$, mientras que el continuo es $\omega_2$. No veo cómo conseguir un modelo de ZFC + no CH + no hay tal definibles por el contraejemplo.

Apéndice: Un par de semanas atrás me hizo la pregunta en la última frase de Arnold Miller y Kenneth Kunen y que en ambos se menciona el siguiente modelo para mí: Levy el colapso de una inaccesible $\kappa$ $\omega_1$(esto es Solovay del modelo) y agregar $\kappa^{+}$ Cohen reales. En el modelo resultante no hay ningún conjunto de reales ordinal definibles (aún) con un parámetro real de tamaño intermedio entre el$\omega$$2^{\omega} = \omega_2$.