Densidad de irrationals

Question

Me encontré con el siguiente problema:

Mostrar que si $x$ y $y$ son números reales con a $x <$ y, entonces existe un número irracional $t$ tal que $x < t < y$.

Sabemos que $y-x>0$.
Por el Arquímedes de la propiedad, existe un entero positivo de $n$ que $n(y-x)>1$ o $1/n < y-x$. Existe un entero $m$ tal que $m \leq nx < m+1$ o $\displaystyle \frac{m}{n} \leq x \leq \frac{m+1}{n} < y$.

Esta es esencialmente la prueba de la densidad de los racionales. En lugar de $\large \frac{m+1}{n}$ necesito algo de la forma $\large\frac{\text{irracional}}{n}$. ¿Cómo puedo obtener el numerador?

Answer 1

Sugerencia: espero que usted puede utilizar el hecho de que $\sqrt{2}$ es irracional.

A partir de la densidad de los racionales, usted sabe que no es un cero racional de $r$ que $$\frac{x}{\sqrt{2}} <r <\frac{y}{\sqrt{2}}.$$

Ahora es prácticamente terminado. (Casi me olvido de insistir en que $r$ ser distinto de cero!)

Answer 2

Elija su favorito positivo irracional, que es de $\sqrt{2}$. Por el Arquímedes de la propiedad, existe $n$ tal que $\frac{\sqrt{2}}{n}\lt \frac{y-x}{2}$. De nuevo por el de Arquímedes de la propiedad, sabemos que existe un entero $m$ tal que $m\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)\gt x$. Pick $M$ a ser la menos tal $m$. Puede usted demostrar que $M\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)$ es estrictamente entre $x$ y $y$?

Answer 3

Elegir cualquiera de los números reales $a$ y $b$ con $a<b$. El intervalo $(a,b)$ no es numerable. Sin embargo, los racionales dentro de ella son tan $(a,b) - \Bbb P$ es nonvoid; tiene un elemento. Por lo tanto cada intervalo abierto que contiene un irracional. De ello se deduce inmediatamente la irrationals son densos en la línea.

Answer 4

Una manera de mostrar que este sería utilizar el hecho de que los racionales son numerables, mientras que el intervalo $(x,y)$ es incontable (estos hechos deben ser probados, aunque), y por lo tanto $(x,y)$ debe contener cierto número irracional $t$, lo que permitirá satisfacer $x<t<y$.

Answer 5

Si los racionales son densos, entonces hay al menos dos racionales $a$ y $b$ entre $x$ y $y$.

Entonces $t=\dfrac{\sqrt{2}}{2} + b \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$ es irracional y también entre $x$ y $y$.