Un conjunto cerrado es aquel que contiene toda su límite de puntos. ¿Por qué es $[a, \infty)$ cerrado? Específicamente no entiendo cómo la $\infty$ que es un punto límite, pero no está en el conjunto.
Respuestas
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La pregunta de por qué $[a, \infty)$ está cerrada aunque el límite de punto de $\infty$ no lo es en realidad una muy buena pregunta. Aquí está la respuesta:
Depende de lo que el espacio topológico es. Si nuestro espacio es $\Bbb R$ (es decir, $(-\infty, \infty)$) con su habitual topología, entonces a partir de la $\infty$ es no en $\Bbb R$, no es un punto límite de $[a, \infty)$.
Ahora, si nuestro espacio topológico es el extendido de reales $\Bbb R^{*}$, el cual es definido como: $[-\infty, \infty]$ con topología generada por todos los habituales de abrir los intervalos en $\Bbb R$, pero también todos los intervalos de la forma$(a, \infty]$$[-\infty, b)$, $\infty$ es un punto límite de $[a,\infty)$, lo $[a,\infty)$ es que no se cierra en $\Bbb R^{*}$.
Así, un conjunto cerrado es una relación de propiedad. Un conjunto puede ser cerrado en un espacio topológico, pero no en otro, como ya hemos visto. Como un subconjunto de $\Bbb R$, $[a, \infty)$ es cerrado, sino como un subconjunto de a $\Bbb R^{*}$, no lo es. Así que cuando usted habla de la apertura y la closedness, que realmente necesita para ser conscientes de que topológica del espacio de usted están hablando acerca de los primeros.
Mike Haskel
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El punto clave es que si un conjunto es abierto o cerrado depende de lo que el espacio del que estamos hablando. $[a,\infty)$ no está "cerrada" por sí mismo, es cerrado en $\mathbb{R}$. No hay ningún punto "$\infty$"$\mathbb{R}$, por lo que no cuenta para decidir si es o no $[a,\infty)$ es cerrado en $\mathbb{R}$. En contraste, a veces hablamos de "$\overline{\mathbb{R}}$", que es una convención notacional para $\mathbb{R}$ junto con los puntos extra $\pm \infty$. En $\overline{\mathbb{R}}$, la $[a,\infty)$ no está cerrado.
(No se debe confundir la $\overline{\mathbb{R}}$ notación con la notación para el cierre de un conjunto; son conceptos diferentes.)
Pburg
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Tome $x\notin [a,\infty)$. Debe ser que $x<a$. A continuación, considere la posibilidad de cualquier bola abierta de radio de menos de $\vert a-x \vert$. Esta pelota no va a contener todos los puntos en $[a,\infty)$. Por lo tanto, $x$ no es un punto límite de la definición de punto límite, porque cada pelota alrededor de un punto límite debe contener otro elemento del conjunto. Por lo tanto, cada punto límite de $[a,\infty)$ también se encuentra en este conjunto.
Zach466920
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¿Qué hay de esto? Un conjunto cerrado es un conjunto tal que el complemento es abierto.
Para $[a,\infty)$ el complemento es $(-\infty,a)$ con un punto en el infinito. Este conjunto es claramente abierto desde la adición de un arbitrario epsilon hasta el infinito rendimientos infinito. Por lo tanto, el conjunto de $[a,\infty)$ es cerrado.
Pero, si el espacio está en considera $(-\infty,-\infty)$ abierto, entonces usted tiene una topología líder de las definiciones. De hecho, el infinito, será considerado como un punto límite y, a continuación, $[a,\infty)$ es realmente abierto!
