La solución de ecuación diferencial separable

Question

Parece sencillo, pero he sido incapaz de hacerlo bien. Aquí están mis pasos:

$$y'(x) = \sqrt{-2y(x) + 28},\hspace{20 pt} y(-4)=-4$$ $$\int {1 \over \sqrt{28-2y} }\hspace{2 pt}\text{d}y = \int \text{d}x$$ $$-\sqrt{28-2y} = x + c$$ $$(28-2y) = (x+c)^2$$ $$y = -1/2x^2 - cx - c^2/2 + 14$$ $$c = {-2, 10}$$ $$\Rightarrow y = -1/2x^2 - 10x - 36$$

Yo he comprobado a lo largo de muchos infinidad de veces, pero para la vida de mí no puedo entender ¿por qué no funciona. He intentado conectar el resultado en la ecuación original y me parece como que se comprueba si se toma el negativo de la raíz cuadrada..

Answer 1

Como Robin Chapman ha señalado, la elección correcta es $c=-2$, no $c=10$. Esto le da $$y(x)=\frac{28-(x-2)^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + 2x + 12.$$

Sin embargo, esta fórmula describe una parábola $y(x)$ que alcanza su punto más alto $y=14$$x=-2$, y esta es una función decreciente de $x>-2$, que no está de acuerdo con la educación a distancia. (Desde la raíz cuadrada en el lado derecho de la educación a distancia no pueden ser negativos, la solución de $y(x)$ no puede estar disminuyendo.) Por otra parte, el lado derecho de la educación a distancia no está definido para $y>14$, por lo que la solución no puede continuar a aumentar más allá de los 14. La conclusión es que la única posible continuación es $y(x)=14$ todos los $x>-2$. Por lo tanto, la solución es:

$$y(x)=\frac{28-(x-2)^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + 2x + 12, \quad -4 \le x \le -2,$$

$$y(x)=14, x>-2.$$

Answer 2

La segunda línea debe ser $$\int {1 \over \sqrt{28-2y} }\hspace{2 pt}\text{d}y = \int \text{d}x.$$

Answer 3

Así que lo que queremos aquí es una solución particular a nuestra ODA dada nuestra condición: $y(-4) = -4$

$$y'(x) = \sqrt{-2y(x) + 28},\hspace{20 pt} y(-4)=-4$$

$$\Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \sqrt{-2y(x) + 28}$$

$$\Rightarrow \int {1 \over \sqrt{28-2y} }\hspace{2 pt}\text{d}y = \int {1}~\text{d}x$$

$u = 28-2y$

$du = -2dx$

$dx = -\dfrac{1}{2}du$

$$\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\int {1 \over \sqrt{u} }\hspace{2 pt}\text{d}y = \int {1}~\text{d}x$$

$$\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\int {u^{-\dfrac{1}{2}}} \hspace{2 pt}\text{d}y = \int {1}~\text{d}x$$

$$\Rightarrow -\dfrac{1}{2}2u^{\dfrac{1}{2}} = x$$

$$\Rightarrow -\sqrt{28-2y} = x + c$$

$$\Rightarrow \sqrt{28-2y} = -c - x,~~y(-4) = -4$$

$$\Rightarrow \sqrt{28-2(-4)} = -c - (-4)$$

$$\Rightarrow \sqrt{36} = -c + 4$$

$$\Rightarrow 6 = -c + 4$$

$$\Rightarrow c = -2$$

$$\Rightarrow \sqrt{28-2y}^{2} = (-c-x)^2$$

$$\Rightarrow 28-2y = (-(-2)-x)$$

$$\Rightarrow 28-2y = (2-x)^{2}$$

$$\Rightarrow 28-2y = 4-4x+x^{2}$$

$$\Rightarrow 2y = 28-4+4x-x^{2}$$

$$\Rightarrow y(x) = \dfrac{28-4+4x-x^{2}}{2}$$

$$\Rightarrow y(x) = \dfrac{28}{2}-\dfrac{4}{2}+\dfrac{4x}{2}-\dfrac{x^{2}}{2}$$

$$\Rightarrow y(x) = 14-2+2x-\dfrac{1}{2}x^{2}$$

$$\Rightarrow y(x) = -\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+12.$$

Por lo tanto,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y(x) = -\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+12$

es nuestro particular solución encontrada para nuestros original de primer orden seperable lineal de la ecuación diferencial ordinaria. $\blacksquare$

Espero que esto haya ayudado, y espero no cometer ningún error de causar cualquier tipo de confusión

aquí.