Supongamos que las raíces del polinomio $f(z)$ son $z_1,z_2,\cdots,z_n$ ,
donde, $|z_1| \ge |z_2| \ge \cdots \ge |z_m| > 1 \ge |z_{m+1}| \ge \cdots \ge |z_n|$
Déjalo, $g(z) = z^nf\left(\frac{1}{z}\right) = 1 + a_{n-1}z + \dots + a_0z^n$
Entonces, $\{1/z_k\}_{1\le k \le m}$ son los ceros de $g$ en el disco $|z| \le r = 1-\epsilon < 1$ , donde, $\epsilon$ se elige de forma que $g(re^{i\theta}) \neq 0$ para $\theta \in [0,2\pi]$ .
Entonces, utilizando Fórmula de Jensen ( prueba ) tenemos: $\displaystyle \log|r^m z_1\cdots z_m| = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log |g(re^{i\theta})|\,d\theta$
es decir, $$|r^m z_1\cdots z_m| = \exp\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log |g(re^{i\theta})|\,d\theta\right)$$
Aplicando Desigualdad de Jensen , $\displaystyle \exp\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log |g(re^{i\theta})|\,d\theta\right) \le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |g(re^{i\theta})|\,d\theta$
seguido de Desigualdad de Cauchy-Schwarz rendimientos,
$\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |g(re^{i\theta})|\,d\theta \le \frac{1}{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}\,d\theta\int_0^{2\pi} |g(re^{i\theta})|^2\,d\theta\right)^{1/2} = \sqrt{1+|a_{n-1}|^2 + ... + |a_{0}|^2}$
Por lo tanto, $\displaystyle |r^m z_1\cdots z_m| \le \sqrt{1+|a_{n-1}|^2 + ... + |a_{0}|^2}$ y dejar que $\epsilon \to 0$ , $r \to 1$ da el resultado deseado.
Un segundo enfoque
También podemos utilizar la inducción.
La norma 2 de un polinomio $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ se define como,
$\lVert f \rVert_2 := \sqrt{|a_n|^2+|a_{n-1}|^2 + ... + |a_{0}|^2}$
y, tenemos:
Lema: $\displaystyle \lVert (x-z)f(x) \rVert_2 = \lVert (\overline{z}x-1)f(x) \rVert_2 $
$\displaystyle \begin{align}\lVert (x-z)f(x) \rVert_2^2 &= \sum\limits_{j=0}^{n+1} |a_{j-1} - za_j|^2 \textrm{ ,where, $a_{-1} = a_{n+1} = 0$ in notation} \\ &= \sum\limits_{j=0}^{n+1} (a_{j-1} - za_j)\overline{(a_{j-1} - za_j)} \\ &= (1+|z|^2)\lVert f(x) \rVert_2^2 - \sum\limits_{j=0}^{n+1} (a_{j-1}\overline{za_j} + za_j\overline{a_{j-1}}) \\ &= (1+|z|^2)\lVert f(x) \rVert_2^2 - \sum\limits_{j=0}^{n+1} (z\overline{a_{j-1}}a_{j} + \overline{z}a_{j-1}\overline{a_{j}}) \\ &= \sum\limits_{j=0}^{n+1}(\overline{z}a_{j-1} - a_j)(z\overline{a_{j-1}} - \overline{a_j}) \\ &= \sum\limits_{j=0}^{n+1}|\overline{z}a_{j-1} - a_j|^2 = \lVert (\overline{z}x-1)f(x) \rVert_2^2 \end{align}$
como antes escribamos las raíces del polinomio en el orden, $|z_1| \ge |z_2| \ge \cdots \ge |z_m| > 1 \ge |z_{m+1}| \ge \cdots \ge |z_n|$ .
Considera el polinomio: $\displaystyle g(x) = \prod\limits_{j=1}^m (\overline{z_j}x-1)\prod\limits_{j=m+1}^n (x - z_j) = \sum\limits_{j=0}^{n}b_jx^j$ ,
donde, $|b_n| = |z_1z_2\cdots z_m|$
Ahora,
$\begin{align}|z_1z_2\cdots z_m| = |b_n| &\le \sqrt{|b_n|^2+\cdots+|b_0|^2} \\ & = \lVert g(x) \rVert_2 \\ &= \lVert \frac{g(x)}{\overline{z_1}x - 1}(x-z_1) \rVert_2 \\ &= \lVert \frac{g(x)}{\prod\limits_{j=1}^m (\overline{z_j}x-1)}\prod\limits_{j=1}^m(x-z_1) \rVert_2 [\textrm{ ,by repeated application of lemma}] \\ &= \lVert f \rVert_2 \end{align}$
