Cómo determinar la inyectividad y la subjetividad de un mapa $\mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_{n}$ ?

Question

Sé cómo determinar la inyectividad y la subjetividad de los mapas entre conjuntos regulares, pero en este caso tengo algunos problemas. ¿Cómo puedo resolverlo?

Dado el siguiente mapa $\psi:\overline{x} \in \mathbb{Z}_{16}\mapsto \overline{7}\overline{x}\in\mathbb{Z}_{16}$ . Sin calcular la imagen de un solo elemento, y sólo utilizando las propiedades de $\overline{7}$ en $\mathbb{Z}_{16}$ , decida si $\psi$ es inyectiva, suryectiva o ambas. Si es posible, encuentre la inversa de $\psi$ .

Answer 1

Tal vez quiera atacar la cuestión más general de lo que puede decir sobre $\psi_a:x\mapsto ax$ . Claramente, $\psi_1 = id$ y $\psi_a \circ \psi_b = \psi_{ab}$ . En particular, si $ab \equiv 1$ entonces $\psi_a$ y $\psi_b$ son inversos entre sí.

Ahora, considere si hay una $b$ tal que $7b\equiv 1 \bmod 16$ .

Answer 2

Desde $7$ es relativamente primo de $16$ es una unidad en el anillo $\mathbb{Z}_{16}$ Así que $7x=7y$ implica $x=y$ . Así, la multiplicación por $7$ es inyectiva. Como $\mathbb{Z}_{16}$ es un conjunto finito, la multiplicación por $7$ también es biyectiva. La inversa del mapa también es la multiplicación por $7$ desde $7$ es su propio inverso mod $16$ .